Математическое ожидание, его свойства

Числовые характеристики д.с.в. Математическое ожидание

Не всегда удобно пользоваться законом распределения д.с.в. иногда бывают удобнее числовые характеристики. Одной из таких характеристик является математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению с.в.

Опр. Математическим ожиданием д.с.в. называется сумма произведений всех возможных значений с.в. на их вероятности \begin{equation} \label{eq6} M( X )=x_1 p_1 +x_2 p_2 +\ldots +x_n p_n =\sum\limits_{i=1}^n {x_i p_i } . \end{equation} Вероятностный смысл М.О. состоит в том, что М.О. приближенно равно среднему арифметическому $\overline X $наблюдаемых значений с.в. $ M( X )\approx \overline X . $

Свойства математического ожидания

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной $M( C )=C$
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак М.О. $M( {X\cdot C} )=C\cdot M( X )$
  3. М.О. 2-х независимых с.в. равно произведению математических ожиданий $M( {X\cdot Y} )=M( X )\cdot M( Y )$ Следствие св. 3 М.О. нескольких независимых с.в. есть произведение М.О. $M( {X_1 \cdot X_2 \cdot \ldots \cdot X_n } )=M( {X_1 } )\cdot M( {X_2 } )\cdot \ldots \cdot M( {X_n } )$
  4. М.О. суммы двух с.в. есть сумма М.О. $M( {X+Y} )=M( X )+M( Y )$ Следствие св. 4 $M( {X_1 +X_2 +\ldots +X_n } )=M( {X_1 } )+M( {X_2 } )+\ldots +M( {X_n } )$

Теорема: Пусть производится n- независимых испытаний. Вероятность появления события $A$ постоянна и равна р. Тогда М.О. числа появления события $A$ в $n$ - независимых испытаниях есть $M( X )= np$

Пример. Дано два закона распределения дискретных случайных величин

$$ \begin{array}{c|lcr} \Psi & 0.5 & 1 \\ \hline P & 0.3 & 0.7 \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|lcr} \xi & \xi _1 =1 & \xi _2 =2 \\ \hline P & 0.2 & 0.8 \\ \end{array} $$

Найти М.О. произведения случайных величин $M( {\xi \cdot \Psi } )=M( \xi )\cdot M( \Psi )=( {1\cdot 0,2+2\cdot 0,8} )\cdot ( {0,5\cdot 0,3+1\cdot 0,7} )=1,53$

Отклонение С.В. от ее математического ожидания

Пусть $X$ - случайная величина. Тогда $M( X )$- ее М.О. Рассмотрим разность $X-M( X )$.

Опр. Отклонением называется разность между значением С.В. и ее М.О. $X-M( X )-$отклонение

Пусть с.в. имеет закон распределения
$$ \begin{array}{c|lcr} X & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} $$

Напишем закон распределения для отклонения. Для того, чтобы отклонение приняло значение $x_1 -M( X )$ достаточно, чтобы С.В. приняла значение $x_1 $. Вероятность этого события $p_1 $. Следовательно, вероятность отклонения $x_1 -M( X )$ так же будет $p_1 $.

Тогда закон распределения для отклонения примет вид:

$$ \begin{array}{c|lcr} X-M( X ) & x_1 - M(x) & x_2 - M(x) & \cdots & x_n - M(x) \\ \hline P & p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\ \end{array} $$

Теорема М.О. отклонения равно нулю. $M( {X-M( X )} )=0$.