Эмпирическая функция распределения

Функцией распределения выборки или эмпирической функцией распределения называют функцию $F^\ast ( x )$, определяющую для каждого значения $X$ относительную частоту события $X<x$ $ F^\ast ( x )=\frac { n_\ast } { n } $

$n-$ объём выборки

$n_\ast -$ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньшее x.

Функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Разница между ними следующая: теоретическая функция распределения $F(x)$ определяет вероятность события $X<x$, а эмпирическая - относительную частоту этого события.

$F^\ast ( x ) -$ обладает теми же свойствами, что и $F(x)$

  1. неубывающая $F^\ast ( x )=\left\ { { { \begin{array} { \c } { 0, x\leqslant x_1 } \\ { 1, x>x_n } \\ \end{array} } }\right.$
  2. $0\leqslant F^\ast ( x )\leqslant 1$

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения.