Формула полной вероятности. Вероятность гипотез

Формула полной вероятности

Теорема Вероятность события $A$, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий $B_1 ,B_2 ,\ldots B_n $, образующих полную группу равна сумме произведений вероятности каждого из событий на соответствующую условную вероятность. \begin{equation} \label{eq5} P( A )=P( {B_1 } )\cdot P_{B_1 } ( A )+P( {B_2 } )\cdot P_{B_2 } ( A )+\ldots +P( {B_n } )\cdot P_{B_n } ( A ) \qquad (5) \end{equation} Формула полной вероятности.

Вероятность полной группы несовместных событий $ P( {B_1 } )+P( {B_2 } )+\ldots +P( {B_n } )=1 $

Пример. Имеется два набора ламп. Вероятность того, что лампа 1-го набора стандартна, равна 0,8, второго - 0,7. Найти вероятность того, что взятая наудачу лампа {из наудачу взятого набора} - стандартна.

Решение}: пусть событие $A=${извлеченная лампа стандартна}

$B_1 =${лампа извлечена из 1-го набора}

$B_2 =${лампа извлечена из 2-го набора}

эти события попарно - несовместны.

Вероятность того, что лампа вынута из 1-го набора $P( {B_1 } )=\frac{1}{2}=0,5$.

Вероятность того, что лампа вынута из 2-го $P( {B_2 } )=\frac{1}{2}=0,5$.

Вероятность полной группы несовместных событий $\sum\limits_i {P( {B_i } )=0,5+0,5=1} $.

Вероятность того, что вынутая из 1-го набора лампа является стандартной, есть условная вероятность $P_{B_1 } ( A )=0,8$

Вероятность того, что вынутая из 2-го набора лампа является стандартной, есть условная вероятность $P_{B_2 } ( A )=0,7$

Искомая вероятность того, что вынутая наудачу лампа является стандартной, есть $ P( A )=P( {B_1 } )\cdot P_{B_1 } ( A )+P( {B_2 } )\cdot P_{B_2 } ( A )=\frac{1}{2}\cdot 0,8+\frac{1}{2}\cdot 0,7=\frac{1}{2}\cdot 1,5=0,75 $

Вероятность гипотез. Формула Байеса

При рассмотрении формулы полной вероятности событие $A$наступает при условии появления одного из несовместных событий $B_i $, следовательно, события $A$ и $B_i$ - зависимы. Поскольку заранее неизвестно какое из событий наступит, то будем события $B_i$ называть гипотезами.

Допустим теперь, что событие $A$ - наступило. Этот факт изменит вероятность гипотез $P_A ( {B_1 } )\ldots P_A ( {B_n } )$

Найдем условные вероятности в предположении, что событие $A$ наступило т.е. $P_A ( {B_1 } )\,,\,P_A ( {B_2 } )\ldots $ {переоценка гипотезы}

Для этого используем теорему умножения.

$P(AB_1)=P(A)\cdot P_A(B_1)=P(B_1)\cdot P_{B_{1}}(A)$

$P_A ( {B_1 } )=\frac{P( {B_1 } )\cdot P_{B_1 } ( A )}{P( A )}$, Формула Байеса

где $P( A )$ находится по формуле полной вероятности.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие $A$ произошло.

В формуле Байеса есть контроль $ \sum\limits_i {P( {B_i } )=1} $

Пример. Сверла попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что сверло попало к первому контролеру, равна 0,6. Ко второму - 0,4. Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером, равна 0,95 - вторым 0,97. Готовое сверло было признано стандартным. Найти вероятность того, что это сверло проверил 1-й контролер.

Решение. Через $A$, обозначим событие, которое произошло. $A=${готовое сверло признано стандартным}

Сделаем два предположения, две гипотезы:

$B_1 =${сверло проверил 1 -й контролер}, $P(B_1 )=0,6$,

$B_2 =${сверло проверил 2 -й контролер}, $P(B_2 )=0,4$,

Контроль $\sum\limits_i {P( {B_i } )=0,6+0,4=1} $

Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером $P_{B_1 } (A)=0,95$,

Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером $P_{B_2 } (A)=0,97$,

Искомую вероятность, т.е. вероятность того, что стандартное сверло проверил }1-й контролер, $P_A ( {B_1 } )$ найдем по формуле Байеса, $P( A )$ - находится по формуле полной вероятности.

$ P_A ( {B_1 } )=\frac{P( {B_1 } )\cdot P_{B_1 } ( A )}{P( A )}=\frac{P( {B_1 } )\cdot P_{B_1 } ( A )}{P( {B_1 } )\cdot P_{B_1 } ( A )+P( {B_2 } )\cdot P_{B_2 } ( A )}=\frac{0,6\cdot 0,95}{0,6\cdot 0,95+0,4\cdot 0,97}=\frac{0,57}{0,57+0,388}=\frac{0,57}{0,958}\approx 0,595$

До испытания вероятность гипотезы $B_1 $ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы {т.е. условная вероятность} изменилась и стала 0,595.