Формула Бернулли
Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли
Пусть производится несколько испытаний. Причем, вероятность появления события $A$ в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называются независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А, может иметь либо различные вероятности, либо одну и туже. Мы будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие $A$ имеет одну и ту же вероятность.
Под сложным событием будем понимать совмещение простых событий. Пусть производится n-испытаний. В каждом испытании событие $A$ может появиться или не появиться. Будем считать, что в каждом испытании вероятность появления события $A$ одна и та же и равна $p$. Тогда вероятность $\overline A $ { или не наступления А } равна $P( { \overline A } )=q=1-p$.
Пусть требуется вычислить вероятность того, что в n -испытаниях событие $A$ наступит k - раз и $n-k$ раз - не наступит. Такую вероятность будем обозначать $P_n ( k )$. Причем, последовательность наступления события $A$ не важна. Например: $( { AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA } )$
$P_5 ( 3 )-$ в пяти испытаниях событие $A$ появилось 3 раза и 2 - не появилось. Такую вероятность можно найти по формуле Бернулли.
Вывод формулы Бернулли
По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность того, что событие $A$ наступит $k$ раз и $n-k$ раз не наступит, будет равна $p^k\cdot q^ { n-k } $. И таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить $C_n^k $. Так как, сложные события несовместны, то по теореме о сумме вероятностей несовместных событий, нам надо сложить вероятности всех сложных событий, а их ровно $C_n^k $. Тогда вероятность появления события $A$ ровно k раз в n испытаниях, есть $P_n ( { A,\,k } )=P_n ( k )=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ { n-k } $ формула Бернулли.
Пример. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что единица появится в половине случаев.
Решение. $A=$ { появление единицы }
$ P( A )=p=\frac { 1 } { 6 } \,, \,P( { \overline A } )=q=1-\frac { 1 } { 6 } =\frac { 5 } { 6 } $ $ P_4 ( 2 )=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ { 4-2 } =\frac { 4! } { 2!\cdot 2! } \cdot 6^2\cdot ( { \frac { 5 } { 6 } } )^2=0,115 $
Легко видеть, что при больших значениях n достаточно трудно подсчитать вероятность из-за громадных чисел. Оказывается эту вероятность можно посчитать не только с помощью формулы Бернулли.
Далее:
Теорема о предполных классах
Поверхностный интеграл второго рода и его свойства
Свойства тройного интеграла
Упрощение логических функций
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции
Свойства двойного интеграла
Свойства потока векторного поля
Вычисление двойного интеграла
Криволинейный интеграл первого рода
Равносильные формулы алгебры высказываний
Специальные векторные поля
Дифференциальные характеристики векторного поля
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Примеры применения цилиндрических и сферических координат
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()