Дискретная случайная величина

Случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины

Опр Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно из возможных значений, заранее неизвестное.

Например. Подбрасывается монета. Заранее не известен результат. Выпадения орла или решки - случайно. Случайные величины обозначают большими буквами Х, У:

$X( {x_1 ,x_2 ,\ldots x_n } )- значения\,x_1 \ldots x_n -$ возможные значения случайной величины.

Имеется три типа случайных величин: непрерывные, дискретные, смешанные.

Опр Дискретной {прерывной} называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения. Число случайных величин может быть конечным или бесконечным.

Опр Непрерывной - называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного промежутка.

Опр Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать в виде таблицы:

так как события $х_{1},х_{2},\ldots ,х_{n }$ образуют полную группу то $р_{1} + р_{2} + \ldots + р_{n} = 1 $

Пример. Написать закон распределения для суммы выпавших очков при подбрасывании двух игральных костей.

Пояснения к примеру: число благоприятных событий m :

$ 2) \left\{ {1 } \right.\left. 1 \right\} -всего\,1\,, $

$ 3) \left\{ {\begin{array}{l} 2 1 \\ \,1 2 \\ \end{array}} \right\}\,-всего\,2\,, $

$4) \left\{ {\begin{array}{l} 2 2 \\ 3 1 \\ 1 3 \\ \end{array}} \right\} -всего\,3\,, $

$ 5) \left\{ {\begin{array}{l} 1 4 \\ 4 1 \\ 2 3 \\ 3 2 \\ \end{array}} \right\} -всего\,4, $

$ 6) \left\{ {\begin{array}{l} 1 5 \\ 5 1 \\ 2 4 \\ 4 2 \\ 3 3 \\ \end{array}} \right\} -всего\,5\,, $

$ 7) \left\{ {\begin{array}{l} 2 5 \\ 5 2 \\ 3 4 \\ 4 3 \\ 6 1 \\ 1 6 \\ \end{array}} \right\} -всего\,6\,, $

и так далее. Закон распределения имеет вид:

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12 \\ \hline p& \frac{1}{36}& \frac{2}{36}& \frac{3}{36}& \frac{4}{36}& \frac{5}{36}& \frac{6}{36}& \frac{5}{36}& \frac{4}{36}& \frac{3}{36}& \frac{2}{36}& \frac{1}{36}\\ \hline \end{array}

Пример 2. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но делает 5-ть выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Построить закон распределения числа произведенных выстрелов.

Решение: Событие $A =${попал в цель}, тогда $\bar A =${промах}.

  • $(\bar A ' A) =${попал со второго раза},
  • $(\bar A ' \bar A ' A) =${попал с третьего раза},
  • $(\bar A ' \bar A ' \bar A ' A) =${попал с четвертого раза},
  • $(\bar A ' \bar A ' \bar A ' \bar A) =${попал с пятого раза}.

Подсчитаем вероятности этих событий.

  • $P_{1}(A)= p =0,8$
  • $P_{2}(\bar A ' A) = P(\bar A)\cdot P{A}=p\cdot q=0,8\cdot 0,2=0,16$
  • $P_{3}(\bar A ' \bar A ' A) = P(\bar A)^{2}\cdot P{A}= p\cdot q^{2}=0,8\cdot 0,2^{2}=0,32$
  • $P_{4}(\bar A ' \bar A ' \bar A ' A) = P(\bar A)^{3}\cdot P{A}= p\cdot q^{3}=0,8\cdot 0,2^{3}=0,0064$
  • $P_{5}(\bar A ' \bar A ' \bar A ' \bar A) = P(\bar A)^{4}\cdot =q^{4}=0,2^{4}=0,0016$

Контроль:

$\Sigma p_{i}= 0,8+0,16+0,032+0,0064+0,0016=1$

Закон распределения представим в виде таблицы:

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline X& 1& 2& 3& 4& 5 \\ \hline p& p& q p& q^{2 }p& q^{3}p^{ }& q^{4} \\ \hline p& 0,8& 0,16& 0,032& 0,0064& 0,0016 \\ \hline \end{array}

Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения называют функцию $F(x)$, определяющую вероятность того, что случайная величина $X$ в результате испытания примет значение, меньшее $х$, т. е. $F(x)=p(X<x)$. функция распределения д. с. в. строится по ряду распределения. Воспользуемся рядом, полученным в предыдущем примере.

Построим график функции распределения д.с.в.

$ F(x_i )=\left\{ {\begin{array}{l} 0:x\in (-\infty , 1) \\ p_1 =0,8: x\in [\,1,\,2) \\ p_1 +p_2 =0,8+0,16=0,96: x\in [\,2,\,3) \\ p_1 +p_2 +p_3 =0,8+0,16+0,32=0,992: x\in [\,3,\,4) \\ p_1 +p_2 +p_3 +p_4 =0,8+0,16+0,32+0,064=0,9984: x\in [\,4,\,5) \\ p_1 +p_2 +p_3 +p_4 +p_5 =0,8+0,16+0,32+0,064+0,016=1, \\ \,x\in [\,5,\,\infty ] \\ \end{array}} \right. $

Функция распределения дискретной случайной величины - это ступенчатая разрывная функция.

diskretnaia-sluchainaia-velichina-0

Свойства функции распределения

  1. функция распределения случайной величины есть не отрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: $0\leqslant F(x)\leqslant 1$.
  2. функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
  3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице т. е. $F(-\infty )=\mathop {\lim }\limits_{x\to -\infty } F(x)=0, F(+\infty )=\mathop {\lim }\limits_{x\to +\infty } F(x)=1$.
  4. Вероятность попадания случайной величины в интервал $[x_1 ,x_2 )$ равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е. $P(x_1 \leqslant X<x_2 )=F(x_2 )-F(x_1 )$.

Биномиальное распределение

Если мы подсчитываем вероятность наступления события $k$ раз при $n$ испытаниях по формуле Бернулли $ P_n ( k )=C_n^k \cdot p^k\cdot q^{n-k} $

Такое распределение вероятности называется биномиальным, потому что правая часть равенства совпадает с общим членом разложения бинома Ньютона. $ ( {p+q} )^n=C_n^n p^n+C_n^{n-1} p^{n-1}q+C_n^{n-2} p^{n-2}q^2+\ldots +C_n^k p^kq^{n-k}+\ldots +C_n^0 p^0q^0 $

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать закон распределения случайной величины $X$ - числа выпадений герба.

Решение: Вероятность появления герба $р = 1/2$, не появления $q = 1/2$. Закон распределения будет иметь вид.

\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X& 0& 1& 2 \\ \hline Р_{2}(k)& С_{2}^{0}p^{0}q^{2}& С_{2}^{1}p^{1}q^{1}& С_{2}^{2}p^{2}q^{0}\\ \hline Р & 0,25& 0,5& 0,25 \\ \hline \end{array}

Контроль: $\Sigma р_{i}=0,25+0,5+0,25=1$

Распределение Пуассона

Пусть производится n испытаний. Вероятность появления события $A$ постоянна и равна P. Для подсчета вероятности появления события $А$ $k$ раз при $n$ испытаниях $P_n ( k )$ можно использовать формулу Бернулли или Лапласа {если $n$ большое, $n>100$}. Но для массовых и редких явлений {когда $n$ велико, а $p$ мало $(p\leqslant 0,1)$ и $np<10$ лучше применять формулу Пуассона.

$P_n ( k )=\frac{\lambda ^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}$, где $\lambda =np$

$P_n ( {m\leqslant k} )=e^{-\lambda }\sum\limits_{m=0}^k {\frac{\lambda ^m}{m!}}$

Геометрическое распределение

Пусть вероятность появления события $A$ есть $p$. Не появления- $q$ и испытание заканчивается, если только событие $A$ появилось. Пусть в первых $k-1$ испытаниях событие $A$ не появилось, а в $k$ появилось. Тогда вероятность этого сложного события равна $ P( {x=k} )=q^{k-1}\cdot p $

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

$ P( {x=3} )=q^2\cdot p=0,4^2\cdot 0,6=0,096 $

Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим задачу: В партии из $N$ деталей имеется $n$ стандартных. Наудачу отбирают $m$ деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных $m$деталей $k$ стандартных.

Решение. Общее число исходов - это есть число способов которыми можно извлечь $m$ деталей из $N$ т.е. $C_N^m $.

Число благоприятных исходов: будет сложным событием состоящим в том, что из $n$стандартных деталей $k$штук можно взять числом способов $C_n^k $, а оставшихся $m-k$ нестандартных можно взять из $N-n$ нестандартных числом способов равным $C_{N-n}^{m-k} $. Тогда число благоприятных исходов есть $C_n^k \cdot C_{N-n}^{m-k} $. Вероятность того, что среди отобранных $m$ деталей будет стандартных $k$ есть:

$ P( k )=\frac{C_n^k \cdot C_{N-n}^{m-k} }{C_N^m } $