Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f( x )$. Все возможные значения случайной величины $X$ принадлежат промежутку $\left[ {a,b} \right]$.

Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины $X$ называется определенный интеграл. \begin{equation} \label{eq6} M( X )=\int\limits_a^b {xf( x )dx} \end{equation}

Если $X$ принимает значения на $( {-\infty ,\infty } )$, то \begin{equation} \label{eq7} M( x )=\int\limits_{-\infty }^\infty x f( x )dx \end{equation}

Опр Дисперсией непрерывной случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения. \begin{equation} \label{eq8} D( x )=\int\limits_a^b {( {X-M( x )} )^2f( x )dx} \end{equation}

Если $X$ принимает значения на $( {-\infty ,\infty } )$ \begin{equation} \label{eq9} D( x )=\int\limits_{-\infty }^\infty {( {x-M( x )} )^2f( x )dx} \end{equation}

Опр Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины \begin{equation} \label{eq10} \sigma ( x )=\sqrt {D( x )} \end{equation}

Замечание. Для вычисления дисперсии удобной является формула \begin{equation} \label{eq11} D( x )=\int\limits_a^b {x^2f( x )dx} -M^2( x ) \end{equation}

Пример. Найти $M( x )$ и $D( x )$, если с.в. $X$ задана функцией распределения $M( X )=\int\limits_a^b {xf( x )dx}$

$F( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,при\,x\leqslant 0} \\ {x,при\,0<x\leqslant 1} \\ {1,при\,x>1} \\ \end{array} }} \right. $

Найдем $f( x )=F'( x )=\left\{ {{\begin{array}{\c} {0,x\leqslant 0} \\ {1,0<x\leqslant 1} \\ {0,x>1} \\ \end{array} }} \right. $

$M( x )=\int\limits_0^1 {x\cdot 1dx}=\frac{x^2}{2}\left| {_0^1 =\frac{1}{2}} \right.$

$ D( x )=\int\limits_0^1 {x^2\cdot 1dx} -M^2( x )=\frac{x^3}{3}\left| {_0^1 -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}} \right. $