Центральная предельная теорема Ляпунова

Перечисленные только что теоремы, представляющие собой закон больших чисел, ничего не говорят о виде распределения случайной величины.

Другая группа теорем теории вероятностей, которая устанавливает связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой - нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой.

Одной из центральных предельных теорем является теорема Ляпунова.

Теорема Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых величин, влияние каждой из которых на всю сумму мало, то X имеет распределение близкое к нормальному.

Замечание Если X имеет Математическое ожидание $M(x)$ и дисперсию $D(x)$, то распределение среднего арифметического $\overline x =\frac{\sum {x_i } }{n}$, вычисленного в $n-$ независимых испытаниях при $n\to \infty $ приближается к нормальному

$\overline x \approx N( {M( x ),\sqrt {\frac{D( x )}{n}} } )$

или $ P( {\left| {\overline x -M( x )} \right|<\xi } )\approx \Phi ( {\frac{\xi }{\sqrt {\frac{D(x)}{n}} }} ) $