Векторное поле
Если каждой точке $\mathbf { \textit { M } } $ некоторой области $\mathbf { \textit { V } } $ пространства соответствует значение некоторой векторной величины $\bar { а } (\mathbf { \textit { M } } )$, то говорят, что в области $\mathbf { \textit { V } } $ задано векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$.
Примеры векторных полей - поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.
Если в некоторой декартовой системе координат вектор $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ имеет координаты $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { M } } ),\mathbf { \textit { Q } } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { M } } )$, то $\bar { a } (M)=P(M)\bar { i } +Q(M)\bar { j } +R(M)\bar { k } $.
Таким образом, задание векторного поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ эквивалентно заданию трёх скалярных полей $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { Q } } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { M } } )$. Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля.
Кроме того, будем предполать, что векторное поля не имеет особых точек, т.е. $\bar { a } (M)\ne \bar { 0 } $ при $\forall M\in V$, т.е. функции $\mathbf { \textit { P } } , \mathbf { \textit { Q } } , \mathbf { \textit { R } } $ не равны нулю одновременно.
В зависимости от рассматриваемых вопросов для нас будет более предпочтительной какая-либо одна из двух интерпретаций векторного поля - силовая или гидродинамическая. В силовой интерпретации вектор $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ трактуется как сила { тяжести, напряжённости, например } , действующая в точке $\mathbf { \textit { M } } $; в гидродинамической интерпретации $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ рассматривается как поле скоростей текущей в области $\mathbf { \textit { V } } $ несжимаемой жидкости. Как и в случае скалярного поля, мы рассматриваем стационарные векторные поля, т.е. поля, постоянные во времени.
Далее:
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Теорема о заведомо полныx системаx
Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе
Теорема о полныx системаx в Pk
Полином Жегалкина. Пример.
Упрощение логических функций
Формула Грина
Лемма о построении множества $[F]_{x1,x2}$
Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл
Теорема об алгоритме распознавания полноты
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Инвариантное определение дивергенции
Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$
Вычисление площади поверхности
Механические приложения двойного интеграла
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()