Векторное поле

Если каждой точке $\mathbf{\textit{M}}$ некоторой области $\mathbf{\textit{V }}$ пространства соответствует значение некоторой векторной величины $\bar {а}(\mathbf{\textit{M}})$, то говорят, что в области $\mathbf{\textit{V }}$ задано векторное поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$.

Примеры векторных полей - поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

Если в некоторой декартовой системе координат вектор $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ имеет координаты $\mathbf{\textit{Р}}(\mathbf{\textit{M}}),\mathbf{\textit{Q}}(\mathbf{\textit{M}}), \mathbf{\textit{R}}(\mathbf{\textit{M}})$, то $\bar {a}(M)=P(M)\bar {i}+Q(M)\bar {j}+R(M)\bar {k}$.

Таким образом, задание векторного поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ эквивалентно заданию трёх скалярных полей $\mathbf{\textit{Р}}(\mathbf{\textit{M}}), \mathbf{\textit{Q}}(\mathbf{\textit{M}}), \mathbf{\textit{R}}(\mathbf{\textit{M}})$. Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля.

Кроме того, будем предполать, что векторное поля не имеет особых точек, т.е. $\bar {a}(M)\ne \bar {0}$ при $\forall M\in V$, т.е. функции $\mathbf{\textit{P}}, \mathbf{\textit{Q}}, \mathbf{\textit{R}}$ не равны нулю одновременно.

В зависимости от рассматриваемых вопросов для нас будет более предпочтительной какая-либо одна из двух интерпретаций векторного поля - силовая или гидродинамическая. В силовой интерпретации вектор $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ трактуется как сила {тяжести, напряжённости, например}, действующая в точке $\mathbf{\textit{M}}$; в гидродинамической интерпретации $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ рассматривается как поле скоростей текущей в области $\mathbf{\textit{V}}$ несжимаемой жидкости. Как и в случае скалярного поля, мы рассматриваем стационарные векторные поля, т.е. поля, постоянные во времени.