Теорема Стокса

Пусть в пространственной области $\mathbf{\textit{V}}$ задано гладкое векторное поле $\sigma \bar {a}$(M) и $\sigma $ - незамкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограниченная контуром $\mathbf{\textit{C}}$. Единичный вектор нормали $\bar {n}(M)$ выбирается так, что с его конца направление обхода $\mathbf{\textit{C}}$ видно совершающимся против часовой стрелки. Тогда циркуляция поля $\bar {a}$ по контуру $\mathbf{\textit{C}}$ равна потоку ротора этого поля через поверхность $\sigma $: $\oint\limits_C {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\iint\limits_\sigma {rot~\bar {a}\cdot \bar {n}d}\sigma $.

teorema-stoksa-0

Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной форме. В координатной форме формула Стокса имеет вид

$\oint\limits_C {Pdx+Qdy+Rdz} =\iint\limits_\sigma {\left( {\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}} \right)dydz+\left( {\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}} \right)dxdz+\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}$ или $ \oint\limits_C {Pdx+Qdy+Rdz} =\iint\limits_\sigma {\left[ {\left( {\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}} \right)\cos \alpha +\left( {\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}} \right)\cos \beta z+\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)\cos \gamma } \right]d\sigma }. $ Мы примем эту формулу без доказательства.

Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса

Требуется вычислить циркуляцию поля $\bar {a}=y\bar {i}-\bar {j}+xz\bar {k}$ по контуру $\mathbf{\textit{C}}$, образующемуся в результате пересечения поверхности $x+y+z^2=1$ с координатными плоскостями.

teorema-stoksa-1

Решение. Непосредственное вычисление

$ Ц$=\oint\limits_C {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\oint\limits_C {ydx-dy+xzdz} =\oint\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {\bar {a}\cdot d\bar {r}} + \oint\limits_{\mathop {BD}\limits^\cup } {\bar {a}\cdot d\bar {r}} +\oint\limits_{\mathop {DA}\limits^\cup } {\bar {a}\cdot d\bar {r}} $

  1. На $\mathbf{\textit{AB}} z=dz=0,\,y=1-x,\,dy=-dx$, поэтому $ W_1 =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\int\limits_1^0 {\left[ {(1-x)-(-1)} \right]dx} =\int\limits_1^0 {(2-x)dx} =-\left. {\frac{(2-x)^2}{2}} \right|_1^0 = \\ =-2+1/2=-3/2. $
  2. На $\mathbf{\textit{BD}} x=dx=0,\,y=1-z^2,\,dy=-2zdz$, поэтому $W_2 =\int\limits_{\mathop {BD}\limits^\cup } {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =-\int\limits_1^0 {dy} =-\left. y \right|_1^0 =1$.
  3. На $\mathbf{\textit{DA}} y=dy=0,\,x=1-z^2,\,dx=-2zdz$, поэтому $W_3 =\int\limits_{\mathop {DA}\limits^\cup } {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\int\limits_1^0 {(1-z^2)zdz} =\left. {\left( {\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4}} \right)} \right|_1^0 =-\frac{1}{4}$.

Итак, Ц$=W_1 +W_2 +W_3 =-\frac{3}{2}+1-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$.

Вычисление по формуле Стокса

Находим ротор поля $\bar {a}$:$rot~\bar {a}=\left| {\begin{array}{l} \,\,\bar {i}\,\,\,\bar {j}\,\,\,\bar {k} \\ \frac{\partial }{\partial x}\,\,\,\frac{\partial }{\partial y}\,\frac{\partial }{\partial z} \\ \,y\,\,-1\,\,\,xz \\ \end{array}} \right|=-z\bar {j}-\bar {k}\mathbf{.}$

Дальше требуется определить, что мы должны взять в качестве поверхности $\sigma $ {или, как часто говорят, какую поверхность натянуть на контур $\mathbf{\textit{C}}$}. В рассматриваемом случае ответ очевиден - единственная поверхность, которая у нас есть, это цилиндрическая поверхность $x+y+z^2=1$, следы которой в координатных плоскостях и образуют контур $\mathbf{\textit{C}}$.

teorema-stoksa-2

Однако возможны случаи, когда удачный выбор поверхности существенно упрощает вычисления. Пусть, например, контур С - окружность, образованная пересечением параболоида $z=x^2+y^2$ и конуса $z^2=x^2+y^2$. В качестве $\sigma $ можно взять и часть параболоида и часть конуса, опирающиеся на эту окружность, но лучше всего взять часть плоскости $z=1$, ограниченную этой окружностью.

Вернёмся к задаче. Находим нормаль к $\sigma : \bar {n}=\frac{\bar {i}+\bar {j}+2z\bar {k}}{\sqrt {1+1+4z^2} }$, знак взят с учётом того, что должно быть $\cos \gamma >0$. Теперь $rot~\bar {a}\cdot \bar {n}=(-\bar {z}j-\bar {k})\frac{\bar {i}+\bar {j}+2z\bar {k}}{\sqrt {2+4z^2} }=-\frac{3z}{\sqrt {2+4z^2} }$, спроецируем $\sigma $ на $\mathbf{\textit{Охz}}: d\sigma =\frac{dxdz}{\vert \cos \beta \vert }=\sqrt {2+4z^2} dxdz, rot~\bar {a}\cdot \bar {n}d\sigma =-\frac{3z}{\sqrt {2+4z^2} }\cdot \sqrt {2+4z^2} dxdz=-3zdxdz$.

Вычисляем Ц$=\iint\limits_\delta {rot~\bar {a}\bar {n}d\delta }=-3\iint\limits_{D_{xz} } {zdz}= =-3\int\limits_0^1 {zdz\int\limits_0^{1-z^2} {dx} } =-3\int\limits_0^1 {(1-z^2)zdz} =-3\left. {\left( {\frac{z^2}{2}-\frac{z^4}{4}} \right)} \right|_0^1 =-\frac{3}{4}$.

Самостоятельно доказать, что если $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ - плоское поле и $\sigma $ лежит в плоскости $\mathbf{\textit{Оху}}$, то формула Стокса сводится к формуле Грина.

Инвариантное определение ротора

Пусть $M\in V$. Возьмём малую плоскую площадку $\sigma $, ограниченную контуром $\mathbf{\textit{C}}$. По теореме Стокса циркуляция по $\mathbf{\textit{C}}$ равна Ц$=\oint\limits_C {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\iint\limits_\sigma {rot~\bar {a}\cdot \bar {n}d}\sigma $. Считая, что $rot~\bar {a}$ мало меняется на $\sigma $ и что поверхностный интеграл равен $rot~\bar {a}(M)\cdot \bar {n}(M)\sigma =\vert rot~\bar {a}(M)\vert \cos \varphi \cdot \sigma $, получим Ц$=\vert rot~\bar {a}(M)\vert \cos \varphi \cdot \sigma $.

teorema-stoksa-3

Будем теперь крутить площадку вокруг точки $\mathbf{\textit{M}}$, при этом циркуляция меняется вместе с $\cos \varphi $. Максимальное значение циркуляция получит при $\varphi =0$, т.е. когда направления $rot~\bar {a}(M)$ и $\bar {n}(M)$ совпадут. Следовательно, $rot~\bar {a}(M)$ указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна Ц$_{\mbox{max}} =\vert rot\bar {a}(M)\vert \cdot \sigma $. Модуль ротора определяется соотношением $\vert rot\bar {a}(M)\vert =\frac{\mbox{Ц}_{\mbox{max}} }{\sigma }$.