Специальные векторные поля

Потенциальное векторное поле

Определение потенциального поля

Векторное поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ называется потенциальным в области $\mathbf{\textit{V}}$, если существует такое скалярное поле $\varphi (M)$, что $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})=grad\varphi (M)$ для $\forall M\in V$. Поле $\varphi (M)$ называется потенциалом поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$.

Свойства потенциального поля

  1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной $grad\varphi = grad(\varphi +C)$.
  2. Разность потенциалов в двух точках $M_1 \in V,\,M_2 \in V$ определена однозначно.
  3. Если поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ потенциально, то линейный интеграл этого поля по любой кривой $\mathop {AB}\limits^\cup $, целиком лежащей в $\mathbf{\textit{V}}$, определяется только начальной и конечной точками этой кривой и не зависит от формы кривой. $W=\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {\bar {a}d\bar {r}} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy+Rdz=} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi }{\partial z}dz} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {d\varphi } =\left. {\varphi (P)} \right|_A^B =\varphi (B)-\varphi (A)$. Эта формула, как и в плоском случае, является обобщением формулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.
  4. Циркуляция потенциального в области $\mathbf{\textit{V}}$ поля по любому контуру, лежащему в $\mathbf{\textit{V}}$, равна нулю.
  5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке $\mathbf{\textit{M}}$ ортогональна эквипотенциальной поверхности {т.е. поверхности уровня потенциала}, проходящей через точку $\mathbf{\textit{M}}$.
  6. Ротор потенциального векторного поля равен нулю: $ rotgrad\varphi =\left| {\begin{array}{l} \,\,\bar {i}\,\,\,\bar {j}\,\,\bar {k} \\ \frac{\partial }{\partial x}\,\,\frac{\partial }{\partial y}\,\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{\partial \varphi }{\partial x}\,\frac{\partial \varphi }{\partial y}\,\frac{\partial \varphi }{\partial z} \\ \end{array}} \right|=\left( {\frac{\partial ^2\varphi }{\partial y\partial z}-\frac{\partial ^2\varphi }{\partial z\partial y}} \right)\bar {i}+\left( {\frac{\partial ^2\varphi }{\partial z\partial x}-\frac{\partial ^2\varphi }{\partial x\partial z}} \right)\bar {j}+\left( {\frac{\partial ^2\varphi }{\partial x\partial y}-\frac{\partial ^2\varphi }{\partial y\partial x}} \right)\bar {k}=0. $

Введём определение безвихревого поля: поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$, ротор которого в каждой точке равен нулю, называется безвихревым.

Мы доказали, что потенциальное поле необходимо безвихрево. Дальше мы займёмся достаточными условиями потенциальности.

Достаточные условия потенциальности

Теорема

Если область $\mathbf{\textit{V}}$ и поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ удовлетворяют следующим условиям:

  1. $\mathbf{\textit{V}}$ - односвязная область,
  2. Поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ - безвихрево {т.е. $rot\bar {a}(M)=\bar {0}$},

то $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ - потенциальное в $\mathbf{\textit{V}}$ поле.

spetsialnye-vektornye-polia-0

Доказательство. Напомним определение односвязной области: область {на плоскости, в пространстве} называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области. Нам при доказательстве теоремы придётся строить поверхности, натянутые на контуры, определение односвязности как раз гарантирует, что такие поверхности существуют и ими могут служить поверхности, образующиеся при деформации контура в точку.

  1. Докажем, что если выполняются условия теоремы, то линейный интеграл поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ по любой кривой $\mathop {AB}\limits^\cup $, целиком лежащей в $\mathbf{\textit{V}}$, определяется только начальной и конечной точками этой кривой и не зависит от её формы. Пусть$\mathbf{\textit{ ASB}}$ и $\mathbf{\textit{ATB}}$ - два пути, соединяющие точки $\mathbf{\textit{A}}$ и $\mathbf{\textit{B}}$. Вместе они образуют замкнутый контур $\mathbf{\textit{ASBTA}}$. Пусть $\sigma $ - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на этот контур. Тогда по формуле Стокса $\oint\limits_{ASBTA} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\iint\limits_\sigma {rot\bar {a}\cdot \bar {n}d}\sigma =0$, так как $rot\bar {a}(M)=0$. Но $\oint\limits_{ASBTA} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\oint\limits_{ASB} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} +\oint\limits_{BTA} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} =\oint\limits_{ASB} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} -\oint\limits_{ATB} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} = 0\Rightarrow\oint\limits_{ASB} {\bar {a}\cdot d\bar {r}} = \oint\limits_{ATB} {\bar {a}\cdot d\bar {r}}$
  2. Докажем, что если мы фиксируем точку $M_0 \in V$ и возьмём $\varphi (M)=\int\limits_{\mathop {M_0 M}\limits^\cup } {\bar {a}d\bar {r}} $, то $\bar {a}(M)=grad\varphi (M)$, т.е. определённая таким образом функция $\varphi (M)$ действительно является потенциалом поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$.

spetsialnye-vektornye-polia-1

Это доказательство полностью повторяет доказательство теоремы пункта Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.

Именно, требуется доказать, что $\frac{\partial \varphi }{\partial x}=P(x,y,z),\,\frac{\partial \varphi }{\partial y}=Q(x,y,z),\,\frac{\partial \varphi }{\partial y}=R(x,y,z)$

Действительно, пусть $M(x,y,z)\in G, {M}'(x+\Delta x,y,z)\in G.$ Тогда $\varphi (M)=\int\limits_{\mathop {M_0 M}\limits^\cup } {Pdx+Qdy+Rdz},\varphi ({M}')=\int\limits_{\mathop {M_0 M{M}'}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} +Rdz=\int\limits_{\mathop {M_0 M}\limits^\cup } {Pdx+Qdy+Rdz} +\\+\int\limits_{\mathop {M{M}'}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} +Rdz\Rightarrow \varphi (x+\Delta x,y,z)=\varphi (x,y,z)+\int\limits_x^{x+\Delta x} {P(x,y,z)dx}\Rightarrow $

{на $MM' y=const,z=const$} $\Rightarrow \Delta _x \varphi (x,y,z)=\varphi (x+\Delta x,y,z)-\varphi (x,y,z)=\int\limits_x^{x+\Delta x} {P(x,y,z)dx} = P(\bar x,y,z)\Delta x$ {по теореме о среднем}

$\Rightarrow \frac{\Delta _x \varphi }{\Delta x}=P(\bar {x},y,z)$. Точка $\bar {x}$ удовлетворяет условиям $x<\bar {x}<x+\Delta x$. Устремим $\Delta x\to 0$, тогда $\bar {x}\to x$ и $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta _x \varphi }{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\bar {x}\to x} P(\bar {x},y,z)=P(x,y,z)$.

Аналогично доказывается, что $\frac{\partial \varphi }{\partial y}=Q(x,y,z),\,\frac{\partial \varphi }{\partial z}=R(x,y,z)$.