Соленоидальное векторное поле

Определение соленоидального поля

Векторное поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ называется соленоидальным в области $\mathbf{\textit{V}}$, если во всех точках этой области $div\bar {a}(M)=0$.

Согласно этому определению, поле не может иметь в области $\mathbf{\textit{V}}$ источников и стоков, таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: $div\,rot\bar {a}(M)=\nabla \cdot \left[ {\nabla \times \bar {a}} \right]=0$.

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

Свойства соленоидального поля

  1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность $\sigma $, ограничивающую область $V_\sigma \in V$, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.
  2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность $\sigma $ достаточно для соленоидальности поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$. Действительно, в разделе Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что $div\bar {a}(M)=\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to M} \frac{\Pi }{V}=\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to M} \frac{\mathop{{\iint}}\limits_\sigma {\bar {a}\bar {n}d\sigma } }{V}\mathbf{,}$ и, так как $\mathop{{\iint}}\limits_\sigma {\bar {a}\bar {n}d\sigma } =0$, то $div\bar {a}(M)=0$.
  3. Пусть в $\mathbf{\textit{V}}$ имеется изолированный источник {или сток} поля. Если поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность $\sigma $, содержащую этот источник имеет одно и то же значение. Фраза "в $\mathbf{\textit{V}}$ имеется изолированный источник {или сток} поля" означает, что область $\mathbf{\textit{V}}$, в которой поле соленоидально, неодносвязна из $\mathbf{\textit{V}}$ выколота точка, в которой находится источник. Так, поле электрической напряжённости, создаваемое зарядом $\mathbf{\textit{q}}, \bar {E}=\frac{q}{r^3}\bar {r}$, соленоидально всюду, кроме точки $r=0$, в которой расположен источник.
  4. Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.