Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Все физические процессы, проходящие в любой области пространства, характеризуются определёнными значениями некоторых величин. Так, нагревание тела описывается изменением температуры в точках этого тела; загнивание экономического региона характеризуется количеством остановленных в нём предприятий и т.д. Если каждой точке $\mathbf{\textit{M}}$ некоторой области $\mathbf{\textit{V }}$ пространства соответствует значение некоторой скалярной величины $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$, то говорят, что в области $\mathbf{\textit{V }}$ задано скалярное поле $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$. Поле называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем изучать только стационарные поля.

skaliarnoe-pole-proizvodnaia-po-napravleniiu-gradient-0

Формально определение скалярного поля совпадает с определением функции $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$, заданной в области $\mathbf{\textit{V}}$; это верно и по существу, однако при изучении теории поля полезно иметь в виду, что функция $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ описывает конкретную физическую реальность. Для изучения функциональной зависимости $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ нам придётся ввести некоторую систему координат. Вид функции $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ {её аналитическое выражение} меняется в зависимости от того, как введена координатная система {где расположено начало системы координат, куда направлены оси, каков масштаб измерения расстояний и т.д.), однако сущность, которую описывают эти разные выражения, одна и та же. Произвол в задании системы координат приводит к необходимости различать величины, не зависящие от конкретной системы (инвариантные относительно системы координат}, и величины, принимающие разные значения в разных системах {неинвариантные величины}.

Основной инвариантной величиной является, конечно, само значение $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ поля в точке $\mathbf{\textit{M}}$. Мы будем называть поле $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ гладким, если функция $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ имеет непрерывные частные производные $\frac{\partial u}{\partial x}(M),\frac{\partial u}{\partial y}(M),\frac{\partial u}{\partial z}(M)$. Значения этих производных в точке $\mathbf{\textit{M}}$ зависят от системы координат, однако составленная с их помощью линейная комбинация базисных ортов системы $\frac{\partial u}{\partial x}\bar {i}+\frac{\partial u}{\partial y}\bar {j}+\frac{\partial u}{\partial z}\bar {k}$ образует градиент поля $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ и инвариантна относительно системы координат.

Вектор $grad\,u(M)$ направлен в сторону роста значений поля $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ по направлению наибольшей скорости роста; длина $grad\,u(M)$ равна скорости роста в этом направлении. Инвариантна относительно системы координат производная поля в точке $\mathbf{\textit{M}}$ по любому направлению $\bar {l}$, выходящему из этой точки, так как она характеризует скорость изменения поля в направлении $\bar {l}$. Формально производная по направлению определяется как $\frac{\partial u}{\partial l}=\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{l} M^1\to M \\ \mbox{вдоль }\bar {l} \\ \end{array}} \frac{u(M^1)-u(M)}{MM^1}$, где $MM^1=\pm \vert \mathop {MM^1}\limits^\to \vert $ в зависимости от того, имеют ли ось $\bar {l}$ и вектор $\mathop {MM^1}\limits^\to $ одинаковые или противоположные направления.

Производная по направлению выражается через градиент формулой $ \frac{\partial u}{\partial l}(M)=gradu(M)\cdot \bar {l}_0 =\frac{\partial u}{\partial x}(M)\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}(M)\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}(M)\cos \gamma =пр_l \left( {gradu(M)} \right), $ где $\bar {l}_0 \left\{ {\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma } \right\}$ - орт направления $\bar {l}$, $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma $ - направляющие косинусы этого направления.

В дальнейшем для обозначения градиента мы часто будем применять введённый Гамильтоном оператор $\nabla$ {"набла