Поток векторного поля через поверхность
В разделе Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности $\sigma $ за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом $\iint\limits_\sigma { \left( { \bar { v } (M)\cdot \bar { n } (M) }\right)d\sigma } $. Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.
Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.
Определение потока векторного поля через поверхность
Пусть $\sigma $ - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области $\mathbf { \textit { V } } $, в которой задано поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Фиксируем выбором нормали $\bar { n } (M)$ одну из двух сторон поверхности $\sigma $.
Потоком векторного поля $\bar { a } \mathbf { ( } \mathbf { \textit { M } } )$ через поверхность $\sigma $ называется поверхностный интеграл первого рода по $\sigma $ от скалярного произведения $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ на единичный вектор нормали $\bar { n } (M)$ к выбранной стороне поверхности: $\prod=\iint\limits_\sigma { \bar { a } (M)\bar { n } (M)d\sigma } $.
Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как $\bar { a } \cdot \bar { n } =пр_ { \bar { n } } \bar { a } =a_n $, поток может обозначаться $\prod=\iint\limits_\sigma { a_n (M)d\sigma } $. Иногда произведение $\bar { n } d\sigma $ обозначают $\overline { d\sigma } $ и называют этот вектор вектором элементарной площадки, тогда $\prod=\iint\limits_\sigma { \bar { a } (M)\overline { d\sigma } } $.
Если связать $\overline { d\sigma } $ с проекциями $\sigma $ на координатные плоскости:
$ \begin{array} { l } \overline { d\sigma } =\bar { n } d\sigma =(\cos \alpha \bar { i } +\cos \beta \bar { j } +\cos \gamma \bar { k } )d\sigma =(\cos \alpha d\sigma )\bar { i } +(\cos \beta d\sigma )\bar { j } +(\cos \gamma d\sigma )\bar { k } = \\ =\pm dydz\cdot \bar { i } \pm dxdz\cdot \bar { j } \pm dxdy\cdot \bar { k } , \\ \end{array} $
и использовать координатную запись поля $\bar { a } (M)=P(M)\bar { i } +Q(M)\bar { j } +R(M)\bar { k } $, то скалярное произведение в координатной форме даст $\prod=\iint\limits_\sigma { P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy } $, т.е. поток может быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. В таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в зависимости от знака соответствующей координаты нормали.
Далее:
Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности
Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности
Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Поток векторного поля через поверхность
Механические приложения двойного интеграла
Определение криволинейного интеграла второго рода
Гармонические поля
Теорема о заведомо полныx системаx
Несобственные интегралы по неограниченной области
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о нелинейной функции
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции
Класс M. Теорема о замкнутости класса M
Теорема Стокса
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()