Поток векторного поля через поверхность

В разделе Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности $\sigma $ за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом $\iint\limits_\sigma {\left( {\bar {v}(M)\cdot \bar {n}(M)} \right)d\sigma }$. Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.

Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.

Определение потока векторного поля через поверхность

Пусть $\sigma $ - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области $\mathbf{\textit{V}}$, в которой задано поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$. Фиксируем выбором нормали $\bar {n}(M)$ одну из двух сторон поверхности $\sigma $.

Потоком векторного поля $\bar {a}\mathbf{(}\mathbf{\textit{M}})$ через поверхность $\sigma $ называется поверхностный интеграл первого рода по $\sigma $ от скалярного произведения $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ на единичный вектор нормали $\bar {n}(M)$ к выбранной стороне поверхности: $\prod=\iint\limits_\sigma {\bar {a}(M)\bar {n}(M)d\sigma }$.

Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как $\bar {a}\cdot \bar {n}=пр_{\bar {n}} \bar {a}=a_n $, поток может обозначаться $\prod=\iint\limits_\sigma {a_n (M)d\sigma }$. Иногда произведение $\bar {n}d\sigma $ обозначают $\overline {d\sigma} $ и называют этот вектор вектором элементарной площадки, тогда $\prod=\iint\limits_\sigma {\bar {a}(M)\overline {d\sigma }}$.

Если связать $\overline {d\sigma}$ с проекциями $\sigma $ на координатные плоскости:

$ \begin{array}{l} \overline {d\sigma} =\bar {n}d\sigma =(\cos \alpha \bar {i}+\cos \beta \bar {j}+\cos \gamma \bar {k})d\sigma =(\cos \alpha d\sigma )\bar {i}+(\cos \beta d\sigma )\bar {j}+(\cos \gamma d\sigma )\bar {k}= \\ =\pm dydz\cdot \bar {i}\pm dxdz\cdot \bar {j}\pm dxdy\cdot \bar {k}, \\ \end{array} $

и использовать координатную запись поля $\bar {a}(M)=P(M)\bar {i}+Q(M)\bar {j}+R(M)\bar {k}$, то скалярное произведение в координатной форме даст $\prod=\iint\limits_\sigma {P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy}$, т.е. поток может быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. В таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в зависимости от знака соответствующей координаты нормали.