Нахождение потенциала

В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$, то $\varphi (M)=\int\limits_ { \mathop { M_0 M } \limits^\cup } { \bar { a } d\bar { r } } $, где $M_0 \in V$ - фиксированная точка. Обычно, если в точке $\mathbf { \textit { O } } (0,0,0)$ поле не имеет особенностей, то в качестве точки $M_0 (x_0 ,y_0 ,z_0 )$ берётся именно эта точка, если в этой точке поле не определено, берётся другая точка.

Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим $\varphi (M)=\int\limits_ { x_0 } ^x { P(x,y_0 ,z_0 )dx } +\int\limits_ { y_0 } ^y { Q(x,y,z_0 )dy } +\int\limits_ { z_0 } ^z { R(x,y,z)dz } $.

nakhozhdenie-potentsiala-0

Пример 1

Доказать, что поле $\bar { a } (x,y,z)=\frac { y\cos (xy) } { z } \bar { i } +\frac { x\cos (xy) } { z } \bar { j } -\frac { \sin (xy) } { z^2 } \bar { k } $ потенциально и найти потенциал этого поля.

Решение

Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области $\mathbf { \textit { V } } $, не содержащей точку $\mathbf { \textit { O } } (0,0,0)$. Условие безвихревости поля $\bar { a } $:

$rot\bar { a } (M)=\left| { \begin{array} { l } \,\bar { i } \,\,\,\,\bar { j } \,\,\,\bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \,\,\frac { \partial } { \partial y } \,\,\frac { \partial } { \partial z } \\ \,P\,\,Q\,\,\,R \\ \end{array} }\right|=\left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)\bar { i } +\left( { \frac { \partial P } { \partial z } -\frac { \partial R } { \partial x } }\right)\bar { j } +\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\bar { k } =0$ в координатной форме сводится к равенствам $\frac { \partial R } { \partial y } =\frac { \partial Q } { \partial z } , \frac { \partial P } { \partial z } =\frac { \partial R } { \partial x } , \frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \partial P } { \partial y } $.

В нашем поле $P(x,y,z)=\frac { y\cos (xy) } { z } , Q(x,y,z)=\frac { x\cos (xy) } { z } ,R(x,y,z)=-\frac { \sin (xy) } { z^2 } $. Находим производные:

$\frac { \partial R } { \partial y } =-\frac { x\cos (xy) } { z^2 } $,

$\frac { \partial Q } { \partial z } =-\frac { x\cos (xy) } { z^2 } =\frac { \partial R } { \partial y } $,

$\frac { \partial P } { \partial z } =-\frac { y\cos (xy) } { z^2 } $,

$\frac { \partial R } { \partial x } =-\frac { y\cos (xy) } { z^2 } =\frac { \partial P } { \partial z } $,

$\frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \cos (xy)-xy\sin (xy) } { z } $,

$\frac { \partial P } { \partial y } =\frac { \cos (xy)-xy\sin (xy) } { z } =\frac { \partial Q } { \partial x } $ Потенциальность поля доказана.

Ищем потенциал. Интеграл $\varphi (M)=\int\limits_ { \mathop { M_0 M } \limits^\cup } { \bar { a } d\bar { r } } $ вычисляем по изображённому на рисунке пути, отправляясь от точки $\mathbf { \textit { M } } _ { 0 } $(0,0,1). $\varphi (x,y,z)=\int\limits_0^x { \frac { 0\cdot \cos (x\cdot 0) } { 1 } dx } +\int\limits_0^y { \frac { x\cdot \cos (xy) } { 1 } dy } -\int\limits_1^z { \frac { \sin (xy) } { z^2 } dz } = =\left. { \sin (xy) }\right|_0^y +\left. { \frac { \sin (xy) } { z } }\right|_1^z =\sin (xy)+\left[ { \frac { \sin (xy) } { z } -\sin (xy) }\right]=\frac { \sin (xy) } { z } $.

Если бы мы взяли в качестве точки $\mathbf { \textit { M } } _ { 0 } $ другую точку $\mathbf { \textit { M } } _ { 1 } $, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную { более точно, на $C=\int\limits_ { \mathop { M_0 M_1 } \limits^\cup } { \bar { a } d\bar { r } } )$, поэтому $\varphi (x,y,z)= \frac { \sin (xy) } { z } +C$.

Далее:

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о немонотонной функции

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Логические следствия

Несобственные интегралы по неограниченной области

Нахождение потенциала

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Определение двойного интеграла

Свойства тройного интеграла

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Огравление $\Rightarrow $