Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Определение линейного интеграла

Пусть в пространственной области $\mathbf{\textit{V}}$ определено непрерывное векторное поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}}), \mathbf{\textit{L}}$ - гладкая кривая, расположенная в $\mathbf{\textit{V}}$. Линейным интегралом поля $\bar {a}$ вдоль линии $\mathbf{\textit{L}}$ называется криволинейный интеграл по длине дуги от скалярного произведения $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ на единичный касательный вектор $\bar {\tau }(\mathbf{\textit{M}}): W=\int\limits_L {\bar {a}(M)\cdot \bar {\tau }(M)\,ds} $.

lineinyi-integral-i-tsirkuliatsiia-vektornogo-polia-0

Как и поток, этот интеграл может представляться различным образом. Так, если учесть, что произведение $\bar {\tau }(M)$ на $ds$ даёт изменение радиуса-вектора точки $\mathbf{\textit{M}}$, т.е. $\bar {\tau }\cdot ds=d\bar {r}=dx\bar {i}+dy\bar {j}+dz\bar {k}$,то $W=\int\limits_L {\bar {a}(M)d\bar {r}} $ и $W=\int\limits_L {Pdx+Qdy+Rdz} $. Следовательно, линейный интеграл может быть выражен и через линейный интеграл по координатам.

Физический смысл линейного интеграла:

если $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ - силовое поле, то $W$ равен работе этого поля при перемещении материальной точки вдоль линии $\mathbf{\textit{L }}$ см. раздел Тройные интегралы.

Основные свойства линейного интеграла.

1). Линейность

$\int\limits_L {\left( {С_1 \bar {a}_1 +С_2 \bar {a}_2 } \right)\bar {\tau }\,ds} =С_1 \int\limits_L {\bar {a}_1 \bar {\tau }\,ds} +С_2 \int\limits_L {\bar {a}_2 \bar {\tau }\,ds} $,

2). Аддитивность

$\int\limits_{L_1 \cup L_2 } {\bar {a}\cdot \bar {\tau }\,ds} =\int\limits_{L_1 } {\bar {a}\cdot \bar {\tau }\,ds} +\int\limits_{L_2 } {\bar {a}\cdot \bar {\tau }\,ds} $. Направление на каждой из частей $\mathbf{\textit{L}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{L}}_{2}$ должно быть таким же, как и на всей кривой $L_1 \cup L_2 $,

3). При изменении направления вдоль $\mathbf{\textit{L}}$ линейный интеграл меняет знак.

Это следует из того, что вектор $\bar {\tau }(\mathbf{\textit{M}})$ меняется на - $\bar {\tau }(\mathbf{\textit{M}})$.

4). Если $\mathbf{\textit{L}}$ - векторная линия поля и движение происходит в направлении поля, то $\mathbf{\textit{W}}>0$. В этом случае вектор $\bar {\tau }(\mathbf{\textit{M}})$ коллинеарен $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$, поэтому $\bar {a}\cdot \bar {\tau }=\mathop {\mbox{пр}\bar {a}}\limits_{\bar {\tau }} =\vert \bar {a}\vert >0$.

Вычисление линейного интеграла

Как и любой криволинейный интеграл, линейный интеграл вычисляется сведением к определённому интегралу по параметру на кривой, обычно вычисляют криволинейный интеграл $W=\int\limits_L {Pdx+Qdy+Rdz} $. Если кривая при параметрическом задании имеет вид $L:\left\{ {\begin{array}{l} x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t), \\ \end{array}} \right. t_0 \leqslant t\leqslant t_k $, где $x(t),\,y(t),\,z(t)$- непрерывно дифференцируемые функции, то $W=\int\limits_L {P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz} = \\ =\int\limits_{t_0 }^{t_k } {\left[ {P(x(t),y(t),z(t))\cdot {x}'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot {y}'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot {z}'(t)} \right]dt} .$

Направление интегрирования определяется направлением движения по кривой.

Циркуляция векторного поля

Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой $\mathbf{\textit{C}}$: Ц$=\oint\limits_C {\bar {a}\cdot d\bar {r}}$.

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны, вообразим в объёме $\mathbf{\textit{V}}$ замкнутый контур $\mathbf{\textit{C}}$. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью, абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения {чем больше $\vert$ Ц $\vert $, тем выше скорость}, знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.