Инвариантное определение дивергенции

В разделе Дивергенция векторного поля мы определили дивергенцию как выражение в определённой системе координат :

$div\bar {a}(M) = \left( {\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}} \right)(M)$

invariantnoe-opredelenie-divergentsii-0

Теорема Остроградского позволяет понять смысл дивергенции поля в точке $\mathbf{\textit{M}}$ как объективного атрибута векторного поля без использования координатной системы. Пусть $\sigma $ - замкнутая поверхность, окружающая точку $\mathbf{\textit{M}}$, $\mathbf{\textit{V}}$ - тело, заключенное внутри $\sigma $, $\bar {n}$ - вектор единичной внешней нормали к $\sigma $. Тогда $\prod =\iint\limits_\sigma {\bar {a}(M)\cdot \bar {n}(M)d\sigma }=\iiint\limits_V {div\bar {a}\cdot dv}$.

По теореме о среднем для тройного интеграла существует точка $M_1 \in V$ такая, что $\prod =\iiint\limits_V {div\bar {a}\cdot dv}=div\bar {a}(M_1 )\cdot V$. Следовательно, $div\bar {a}(M_1 )=\frac{\prod }{V}$.

Отношение значения некоторой физической величины к объёму принято называть средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к точке $\mathbf{\textit{M}}$, предел средней плотности называется локальным значением плотности в точке $\mathbf{\textit{M}}$. Таким образом, мы можем трактовать $div\bar {a}(M_1 )=\frac{\prod }{V}$ как среднюю плотность потока в объёме $\mathbf{\textit{V}}$.

Будем теперь стягивать $\sigma $ к точке $\mathbf{\textit{M}}$, при этом и $\mathbf{\textit{V}}$ стягивается к точке $\mathbf{\textit{M}}, M_1 \to M$ и, вследствие непрерывности $div\bar {a}, div\bar {a}(M_1 )\to div\bar {a}(M)$. Поэтому $div\bar {a}(M)=\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to M} \frac{\prod }{V}=\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to M} \frac{\mathop{{\iint} }\limits_\sigma {\bar {a}\bar {n}d\sigma } }{V}\mathbf{ }$ будет равна плотности потока в точке $\mathbf{\textit{M}}$ и так как плотность потока определяется независимо от выбора какой-либо системы координат, то дивергенция векторного поля инвариантна относительно выбора координатной системы.

Используем теперь гидродинамическую интерпретацию поля для выяснения физического смысла дивергенции. Пусть $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ - стационарное поле скоростей несжимаемой жидкости. В каком случае поток $\prod =\iint\limits_\sigma {\bar {a}(M)\cdot \bar {n}(M)d\sigma }=\iiint\limits_V {div\bar {a}\cdot dv}\mathbf{ }$ через замкнутую поверхность $\sigma $ может быть отличен от нуля, т.е. в каком случае из $\mathbf{\textit{V }}$ вытекает больше жидкости, чем втекает {при $\prod>0$} или наоборот {при $\prod<0$}?

Ясно, что $\prod>0$ может быть только в том случае, если в $\mathbf{\textit{V}}$ появляется дополнительная жидкость, т.е. в $\mathbf{\textit{V }}$имеются источники поля. $\prod<0$ может быть только в том случае, если в $\mathbf{\textit{V}}$ исчезает часть жидкости, т.е. в $\mathbf{\textit{V }}$ имеются стоки поля. Поэтому $div\bar {a}(M)$ как плотность потока в точке $\mathbf{\textit{M}}$ определяет силу источника {при $div\bar {a}(M)>0$} или стока {при $div\bar {a}(M)<0$} в точке $\mathbf{\textit{M}}$.

По аналогии с полем скоростей жидкости считают, что дивергенция определяет силу источников и стоков поля в любом поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$.