Гармонические поля

Оператор Лапласа

Пусть функция $\varphi (x,y,z)$ имеет непрерывные вторые частные производные. Вычислим $\Delta \varphi =\frac{\partial ^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{\partial ^2\varphi }{\partial z^2}$. Оператор $\Delta =\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}$, с помощью которого по функции $\varphi (x,y,z)$ получена функция $\Delta \varphi $, называется оператором Лапласа или лапласианом. Формально его можно получить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла: $ \nabla ^2=\nabla \cdot \nabla =\left( {\frac{\partial }{\partial x}\bar {i}+\frac{\partial }{\partial y}\bar {j}+\frac{\partial }{\partial z}\bar {k}} \right)\left( {\frac{\partial }{\partial x}\bar {i}+\frac{\partial }{\partial y}\bar {j}+\frac{\partial }{\partial z}\bar {k}} \right)=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}=\Delta . $

Можно дать другое представление оператора Лапласа: $\Delta \varphi =\nabla ^2\varphi =\nabla \cdot (\nabla \varphi )=\nabla \cdot grad\varphi =div\,grad\varphi $ и это будет уже инвариантным определением оператора.

Гармонические поля

Скалярное поле $\varphi {M}$ называется гармоническим, если оно удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \varphi =0$ или $\frac{\partial ^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{\partial ^2\varphi }{\partial z^2}=0$. Векторное поле $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ называется гармоническим, если оно является градиентом некоторой гармонической функции, т.е. $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})=grad\varphi (M)$, где $\Delta \varphi =0$.

Из этого определения следует, что гармоническое векторное поле одновременно потенциально и соленоидально, так как $div,\bar {a}(M)=divgrad \varphi (M)=\Delta \varphi =0$. Верно и обратное: если $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ одновременно и потенциально и соленоидально, то оно является гармоническим. Действительно из потенциальности $\Rightarrow \exists \varphi (M):\bar {a}(M)=grad\varphi (M)$ из соленоидальности $\Rightarrow \mbox{div}\bar {a}(M)=\mbox{div}grad\varphi (M)=0\Leftrightarrow \Delta \varphi =0$, т.е. $\varphi {M}$ - гармонический потенциал. Каждая координата гармонического векторного поля является гармонической функцией.