Частные случаи векторных полей

Векторное поле называется однородным {или постоянным}, если $a(M)=\mathop {\mbox{const}}\limits^\to $.

Векторное поле называется плоским, если все векторы $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ параллельны некоторой плоскости П и одинаковы вдоль каждого перпендикуляра к П. Если система координат введена так, что П совпадает с плоскостью $\mathbf{\textit{Оху}}$, то, очевидно, $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})=P(x,y)\bar {i}+Q(x,y)\bar {j}$. Плоское поле достаточно рассматривать в пределах плоскости $\mathbf{\textit{Оху}}$, так как во всех плоскостях, параллельных $\mathbf{\textit{Оху}}$, оно одинаково.

Для плоского поля $diva=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}$, $rot\bar {a}=\left| {\begin{array}{l} \bar {i}\bar {j}\bar {k} \\ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial z} \\ PQO \\ \end{array}} \right|=\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)\bar {k}$.

Пример плоского поля - магнитное поле, создаваемое током $\mathbf{\textit{I}}$, текущим по бесконечно длинному проводнику. Если ось $\mathbf{\textit{Oz }}$направлена вдоль этого проводника, то вектор напряженности магнитного поля равен $\bar {H}=2I\frac{-y\bar {i}+x\bar {j}}{x^2+y^2}$, это поле определено везде, кроме оси $\mathbf{\textit{Oz}}$.

Векторное поле называется центральным, если в каждой точке $M\in V$ вектор $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ коллинеарен радиусу-вектору этой точки: $\bar {a}(M)=u(M)\bar {r} (\bar {r}=x\bar {i}+y\bar {j}+z\bar {k})$.

Так как $div\bar {r}=1+1+1=3, rot\bar {r}=\left| {\begin{array}{l} \bar {i}\bar {j}\bar {k} \\ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial z} \\ xyz \\ \end{array}} \right|=\bar {0}$, то для центрального поля $div\left( {u\cdot \bar {r}} \right)=\bar {r}\cdot gradu+udiv\bar {r}=3u+\bar {r}\cdot gradu$, $rot\left( {u\cdot \bar {r}} \right)=gradu\times \bar {r}+urot\bar {r}=gradu\times \bar {r}$.

Векторное поле называется центрально-симметричным, если оно центрально, и функция $\mathbf{\textit{u}}(\mathbf{\textit{M}})$ зависит только от расстояния $\mathbf{\textit{r}}$, т.е. от длины радиуса-вектора точки $\mathbf{\textit{M}} : \bar {a}(M)=u(r)\bar {r} (r=\sqrt {x^2+y^2+z^2} )$

Так как $gradr=\frac{x\bar {i}+y\bar {j}+z\bar {k}}{\sqrt {x^2+y^2+z^2} }=\frac{\bar {r}}{r}, gradu(r)={u}'(r)gradr={u}'(r)\cdot \frac{\bar {r}}{r}$, то для центрально-симметричного поля $div\left( {u(r)\cdot \bar {r}} \right)=\bar {r}\cdot gradu(r)+u(r)div\bar {r}=3u+{u}'(r)\cdot \bar {r}\cdot \frac{\bar {r}}{r}=3u+r{u}'(r), rot\left( {u(r)\cdot \bar {r}} \right)= \\ = gradu(r)\times \bar {r}+urot\bar {r}=\frac{{u}'(r)}{r}(\bar {r}\times \bar {r})=\bar {0}$.

Найдем вид центрально-симметричного поля, для которого дивергенция равна нулю {в дальнейшем мы будем называть такие поля соленоидальными}: $3u+r{u}'(r)=0\Rightarrow \frac{du}{u}=-3\frac{dr}{r}\Rightarrow \ln \vert u\vert =-3\ln \vert r\vert +\ln \vert C\vert \Rightarrow u=\frac{C}{r^3}\Rightarrow \bar {a}(M)=\frac{C}{r^3}\bar {r}$.

Таким образом, соленоидальны только те центрально-симметричные поля, в которых зависимость от $\mathbf{\textit{r}}$ такая же, как в законах Кулона и всемирного тяготения. В связи с этим встают мировоззренческие вопросы о том, вычислял ли Господь Бог дивергенцию, когда создавал Вселенную, и о связи показателя степени в знаменателях законов Кулона и всемирного тяготения с пространственной размерностью мира, в котором мы живём

Векторные линии

Так как вектор $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ определяется длиной и направлением в пространстве, задание в области $\mathbf{\textit{V}}$ поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ равносильно заданию в $\mathbf{\textit{V}}$ полей длин и направлений. Геометрической характеристикой, определяющей в V поле направлений, служит совокупность векторных линий.

Векторной линией поля $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$ называется любая линия, которая в каждой своей точке $\mathbf{\textit{М }}$ касается вектора $\bar {a}(\mathbf{\textit{M}})$.

В силовой интерпретации поля векторными линиями являются силовые линии поля, в гидродинамической - векторные линии есть траектории, по которым движутся частицы жидкости {линии тока}.

Получим дифференциальные уравнения векторных линий в декартовой системе координат.

Пусть векторная линия определяется векторным уравнением $\bar {r}=\bar {r}(t)=x(t)\bar {i}+y(t)\bar {j}+z(t)\bar {k}$. Тогда касательный вектор к этой линии ${\bar {r}}'(t)=x(t{)}'\bar {i}+y(t{)}'\bar {j}+z(t{)}'\bar {k}$ в любой точке должен быть коллинеарен полю, т.е. $x(t{)}'\bar {i}+y(t{)}'\bar {j}+z(t{)}'\bar {k}=\lambda \left( {P\bar {i}+Q\bar {j}+R\bar {k}} \right)\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\lambda P,\frac{dy}{dt}=\lambda Q,\frac{dz}{dt}=\lambda R\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{dx}{P(x,y,z)}=\frac{dy}{Q(x,y,z)}=\frac{dz}{R(x,y,z)}$

Эта записанная в симметричной форме система из трёх уравнений первого порядка и определяет векторные линии. Так как функции $\mathbf{\textit{P}}, \mathbf{\textit{Q}}, \mathbf{\textit{R}}$ одновременно не обращаются в нуль, то в любой точке одна из них отлична от нуля.

Пусть, например, в точке $М_0 \left( {x_0 ,y_0 ,z_0 } \right)\in V P\left( {x_0 ,y_0 ,z_0 } \right)\ne 0$. Тогда систему можно записать в виде $\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y,z)}{P(x,y,z)};\frac{dz}{dx}=\frac{R(x,y,z)}{P(x,y,z)}$. Функции $\mathbf{\textit{P}}, \mathbf{\textit{Q}}, \mathbf{\textit{R}}$ непрерывно дифференцируемы, поэтому для последней системы выполняются условия теоремы существования и единственности задачи Коши с начальными условиями $y(x_0 )=y_0 ,z(x_0 )=z_0 $. Следовательно, через точку $\mathbf{\textit{M}}_{0}$ проходит, и при том единственная, интегральная кривая системы, которая и будет векторной линией поля.

Пусть, например, поле $\bar {a}=x\bar {i}+y\bar {j}+2x^2\bar {k}$. Тогда векторные линии определяются системой $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{2x^2}$. Решая уравнение $\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$, получим $\mathbf{\textit{y}}=\mathbf{\textit{C}}_{1}\mathbf{\textit{x}}$, из уравнения $\frac{dx}{x}=\frac{dz}{2x^2}$ получаем $z=x^2+C_2 $, таким образом, уравнения векторных линий $\left\{ {\begin{array}{l} y=C_1 x, \\ z=x^2+C_2 . \\ \end{array}} \right.$

Пусть $\mathbf{\textit{L}}$ - некоторая кривая в области $\mathbf{\textit{V}}$, не являющаяся векторной линией. Проведём через каждую точку $\mathbf{\textit{L}}$ векторную линию; получившаяся в результате поверхность называется векторной поверхностью. Если $\mathbf{\textit{L}}$ - замкнутая линия, то поверхность называется векторной трубкой. Основное свойство векторной трубки: векторная линия, вошедшая в трубку через поперечное сечение $\sigma _1 $, может выйти из неё только через другое сечение $\sigma _2 $. Действительно, если бы векторная линия пересекла боковую поверхность векторной трубки, то через точку пересечения проходило бы две векторные линии, что, как мы установили, невозможно.

chastnye-sluchai-vektornykh-polei-0