Расчет сварного соединения с угловыми швами на одновременное действие продольной и поперечной сил и момента

Консоль, подвергающаяся действию продольной и поперечной сил и момента, прикрепляется угловым швом по периметру соприкасающихся поверхностей {рис. 1}.

Продольная сила $N = 195$ кН, поперечная сила $Q = 30$ кН, изгибающий момент $М = 24,5$ кНм. Материал консоли - сталь марки 18пс $R_{un} = 370$ МПа, $R_{wz} = 165$ МПа. Сварка выполняется полуавтоматом в углекислом газе проволокой диаметром 2 мм марки Св-08Г2С в нижнем положении $R_{wf} = 215$ МПа; $\beta _{f} = 0,9; \beta _{z} = 1,05$. Коэффициенты условий работы $\gamma _{wz}=\gamma _{c} = 1$.



Рис. 1. К расчету сварного соединения с угловыми швами на одновременное действие продольной и поперечной сил и момента

Необходимо определить катет углового шва.

Решение

Сечение, по которому следует производить расчет сварного соединения для указанного сочетания стали, сварочной проволоки и способа сварки - по металлу границы сплавления. Принимаем $k_{f} = 10$ мм.

1). Определяем напряжение в соединении от продольной силы $N:\tau _{N}=N / A_{w}$, где расчетная площадь шва $A_{w} = 2 (l_{1}+l_{2}) k_{f}\beta _{z}$.

С учетом того, что расчетная длина шва принимается меньше его полной длины на 10 мм $l_{1} = 19,5$ см, $l_{2} = 15,5$ см:

$A_{w} = 2(19,5 + 15,5) \cdot 1 \cdot 1,05 = 73,5$ см$^{2}$.

$\tau _{N} = 195 \cdot 10 / 73,5 = 26,5$ МПа.

2). Определяем напряжение в соединении от поперечной силы $Q$.

Результирующее напряжение $\tau _{Q рез}$ является суммой векторов напряжения от силы $Q$, перенесенной в центр тяжести периметра швов $(\tau _{Q})$ и напряжения от момента $(\tau _{мQ})$:

$\tau _{Q}=Q / A_{w} = 30 \cdot 10 / 73,5 = 4,1$ МПа; $ \tau _{мQ} =M\sqrt {x^2+y^2} /\left( {I_{zx} +I_{zy} } \right). $

Моменты инерции расчетного сечения соединения по металлу границы сплавления относительно его главных осей:

$I_{zx} \approx \beta _{z} {{}2l^{3}_{2} k_{f} / 12 + 2l_{1} k_{f} [(l_{2}+k_{f}) / 2]^{2}{}} = \\ = 1,05 {{}2 \cdot 15,5^{3} \cdot 1/12 + 2 \cdot 19,5 \cdot 1[(15,5 + 1) / 2]^{2}{}} = 3439$ см$^{4}$,

$I_{zy} \approx \beta _{z} {{}2l^{3}_{1} k_{f} / 12 + 2l_{2} k_{f} [(l_{1}+k_{f}) / 2]^{2}{}} = \\ = 1,05 {{}2 \cdot 19,5^{3} \cdot 1/12 + 2 \cdot 15,5 \cdot 1 [(19,5 + 1) / 2]^{2}{}} = 4717$ см$^{4}$.

Расстояние точки шва, наиболее удаленной от центра тяжести расчетного сечения соединения:

$\sqrt {x^2+y^2} =\sqrt {10^2+8^2} =12,8$ см.

$\tau _{мQ} = 30 \cdot 10^{3} \cdot 12,8 / 8156 = 47$ МПа.

Результирующее напряжение от действия поперечной силы в плоскости $XOY$:

$\tau _{Q{рез}} =\sqrt {\tau _Q^2 +\tau _{мQ}^2 +2\tau _Q \tau _{мQ}\cos \alpha }$ ,

где $\alpha $ - угол, определяемый размерами соединения (см. рис. \href{}{17}).

$\tau _{Q{рез}} =\sqrt {4,1^2 +47^2 +2\cdot 4,1\cdot 47\cdot 0,78} =50,3$ МПа.

3). Определение напряжения в соединении от момента $М$:

$\tau _{м}=Мy_{max} / I_{zy}$;

$y_{max}=l_{1} / 2 + k_{f} = 20 / 2 + 1 = 11$ см;

$\tau _{м} = 24,5 \cdot 10^{3} \cdot 11 / 4717 = 57$ МПа.

4). Результирующее напряжение от действия продольной силы $N$ и момента $М $ в плоскости $XOZ$:

$\tau _{мN} =\sqrt {\tau _м^2 +\tau _N^2 } =\sqrt {57^2 +26,5^2 } =62,8$ МПа.

5). Определение угла между векторами $\vec {\tau }_{мN} $ и $\vec {\tau }_{Q{рез}} $.

Угол $\phi $ определяют, пользуясь координатным методом в пространстве и свойством скалярного произведения двух векторов: $ \cos \varphi =\vec {a}\vec {b}/\left( {\left| {\vec {a}} \right|\cdot \left| {\vec {b}} \right|} \right), $ где $\vec {a}$ и $\vec {b}$ - векторы; $\vert \vec {a}\vert $ и $\vert \vec {b}\vert $ - длины векторов.

Поскольку скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов $\vec {a} \cdot \vec {b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$ и длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат $\left| {\vec {a}} \right|=\sqrt {x_1^2 +y_1^2 +z_1^2 } , \cos \varphi =\left( {x_1 x_2 +y_1 y_2 +z_1 z_2 } \right)/\left( {\sqrt {x_1^2 +y_1^2 +z_1^2 } \sqrt {x_2^2 +y_2^2 +z_2^2 } } \right)$.

В рассматриваемом примере координаты вектора $\vec {\tau }_{мN} $:

$х_{1} = \tau _{N}; y_{1} = 0; z_{1}=\tau _{м}$;

координаты вектора $\vec {\tau }_{Q{рез}} $:

$x_{2}=\tau _{мQ} sin \alpha ; y_{2}=\tau _{мQ} cos \alpha +\tau _{Q}; z_{2} = 0$; $ \begin{array}{c} \cos \varphi =\tau _N \tau _{мQ} \sin \alpha /\left[ {\tau _{мQ} \sqrt {(\tau _{мQ} \sin \alpha )^2+(\tau _{мQ} \cos \alpha +\tau _Q )^2} } \right]= \\ =26,5\cdot 47\cdot 0,625/\left[ {62,8\sqrt {(47\cdot 0,625)^2+(47\cdot 0,78+4,1)^2} } \right]=0,25. \\ \end{array} $

6). Определяем суммарное напряжение в соединении

$\tau _z =\sqrt {\tau _{мN}^2 +\tau _{Q{рез}}^2 +2\tau _{мN} \tau _{Q{рез}} \cos \varphi } =\sqrt {62,8^2+50,3^2+2\cdot 62,8\cdot 50,3\cdot 0,25} =89,7$ МПа,

$\tau _{z} / R_{wz} = 89,7 / 165 = 0,54$.

Таким образом, при $k_{f} = 10$ мм суммарное напряжение в 0,54 раза меньше расчетного сопротивления. Следовательно, катет шва в соединении следует принять $k_{f}$ = 6 мм.

7). Проверяем прочность соединения при $k_{f} = 6$ мм:

Проверка прочности соединения при $k_{f} = 5$ мм показывает правильность расчета:

$А_{w} = 2 (19,5 + 15,5) 0,6 \cdot 1,05 = 44,1$ см$^{2}$;

$\tau _{N} = 195 \cdot 10 / 44,1 = 44,2$ МПа;

$\tau _{Q} = 30 \cdot 10 / 44,1 = 6,8$ МПа;

$I_{zx} = 1983 см^{4}; I_{zy} = 2754$ см$^{4}$;

$\tau _{мQ} = 30 \cdot 10^{3} \cdot 12,8 / 4737 = 81$ МПа;

$\tau _{Q{рез}} =\sqrt {6,8^2 +81^2 +2\cdot 6,8\cdot 81\cdot 0,78} =86,4$ МПа;

$\tau _{м} = 24,5 \cdot 10^{3} \cdot 10,3 / 2754 = 92$ МПа;

$\tau _{мN} =\sqrt {92^2 +44,2^2 } =102$ МПа;

$\cos \varphi =44,2\cdot 81\cdot 0,625/\left[ {102\sqrt {\left( {81\cdot 0,625} \right)^2+\left( {81\cdot 0,78+6,8} \right)^2} } \right]=0,25$;

$\tau _z =\sqrt {102^2+86,4^2+2\cdot 102\cdot 86,4\cdot 0,25} =149 < 165$ МПа.