Расчет сварного соединения с угловыми швами на одновременное действие продольной и поперечной сил

Полоса прикрепляется двумя горизонтальными и одним вертикальным швом {рис. 1}. Продольная сила $N = 100$ кН, поперечная сила $Q = 38$ кН. Материал пластины - сталь марки ВСт3 $R_{un} = 370$ МПа. Сварка выполняется покрытыми электродами типа Э46 $R_{wf} = 200$ МПа, $\beta_{f} = 0,7$. Коэффициенты условий работы $\gamma _{wf}=\gamma _{c} = 1$.

Необходимо определить катет углового шва.

Решение

Для указанного сочетания стали, электродов и способа сварки расчетным сечением является сечение по металлу шва. Поэтому расчет должен выполняться по формуле: $\tau _{f} \leqslant R_{wf} \gamma _{wf} \gamma _{c}$.

Принимаем $k_{f} = 10$ мм.

1). Определяем напряжение в соединении от продольной силы $N\tau _{N}=N / A_{w}$, где расчетная площадь шва $A_{w} = (2l_{1}+l_{2}) k_{f} \beta _{f}$.



Рис. 1. К расчету сварного соединения с угловыми швами на одновременное действие продольной и поперечной сил $l_{1} = 30$ см; $l_{2} = 20$ см; $l_{3} = 81$ см

С учетом того, что расчетная длина шва принимается меньше его полной длины на 10 мм:

$A_{w} = (2 \cdot 29 + 20) 1 \cdot 0,7 = 54,6 см^{2}$,

$\tau _{N} = 100 \cdot 10 / 54,6 = 18,3$ МПа.

2). Определяем напряжение в соединении от поперечной силы $Q$.

Результирующее напряжение $\tau _{Q рез}$ является суммой векторов напряжения от силы $Q$, перенесенной в центр тяжести периметра швов $\tau _{Q}$ и напряжения от момента $\tau _{мQ}$:

$\tau _{Q}=Q / A_{w} = 38 \cdot 10 / 54,6 = 7$ МПа;

$ \tau _{мQ} =M/(I_{fx} +I_{fy}^ )\sqrt {x^2+y^2} $

Центр тяжести периметра швов определяется по формуле

$x_{\mbox{ц}} = (l^{2}_{1} - 0,5l_{2}k_{f}) / (2l_{1}+l_{2}) = (900 - 0,5 \cdot 20 \cdot 1) / (60 + 20) = 11$ см.

Координаты точки $А$, наиболее удаленной от центра тяжести расчетного сечения швов: $x = 19$ см, $у = 10$ см.

Моменты инерции расчетного сечения соединения по металлу шва относительно его главных осей:

$I_{fx} \approx \beta _{f} {{}l^{3}_{2} k_{f} / 12 + 2l_{1} k_{f} [(l_{2}+k_{f}) / 2]^{2}{}} = \\ = 0,7 {{}20^{3} \cdot 1/12 + 2 \cdot 29 \cdot 1[(20 + 1) / 2]^{2}{}} = 4942$ см$^{4}$,

$I_{fy} \approx \beta _{f} {{}2 [l^{3}_{1} k_{f} / 12 + l_{1} k_{f} (l_{1} / 2 - x_{\mbox{ц}})^{2}] + l_{2} k_{f} (x_{\mbox{ц}}+k_{f} / 2)^{2}{}} = \\ = 0,7 {{}2 [29^{3} \cdot 1/12 + 29 \cdot 1 (29 / 2 - 11)^{2}] + 20 \cdot 1 (11 + 1 / 2)^{2}{}} = 5194$ см$^{4}$.

Расстояние точки шва, наиболее удаленной от центра тяжести расчетного сечения соединения:

$\sqrt {x^2+y^2} =\sqrt {19^2+10^2} =21,5$ см.

$\tau _{мQ} = 38 \cdot 1 \cdot 10^{3} / (4942 + 5194) 21,5 = 80,6$ МПа.

Результирующее напряжение от действия поперечной силы $Q$:

$\tau _{Q{рез}} =\sqrt {\tau _{Q}^2 +\tau _{мQ}^2 +2\tau _{Q} \tau _{мQ} \cos \alpha }$ ,

где $\alpha $ - угол, определяемый размерами соединения {см. рис. 1);

$\tau _{Q{рез}} =\sqrt {7^2 +80,6^2 +2\cdot 7\cdot 80,6\cdot 0,89} =86,9$ МПа.

3). Определяем угол между векторами $\vec {\tau }_N $ и $\vec {\tau }_{Q{рез}} $.

Угол $\phi $ определяют, пользуясь координатным методом на плоскости и свойством скалярного произведения двух векторов: $ \cos \varphi =\vec {a}\vec {b}/\left( {\left| {\vec {a}} \right|\cdot \left| {\vec {b}} \right|} \right), $ где $\vec {a}$ и $\vec {b}$ - векторы; $\vert \vec {a}\vert $ и $\vert \vec {b}\vert $ - длины векторов.

Поскольку скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов $\vec {a} \cdot \vec {b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$ и длина вектора равна $ \left| {\vec {a}} \right|=\sqrt {x_1^2 +y_1^2 } ; \left| {\vec {b}} \right|=\sqrt {x_2^2 +y_2^2 } , \cos \varphi =\left( {x_1 x_2 +y_1 y_2 } \right)/\left( {\sqrt {x_1^2 +y_1^2 } \sqrt {x_2^2 +y_2^2 } } \right). $

В рассматриваемом примере координаты вектора $\vec {\tau }_N : х_{1} = \tau _{N}, y_{1} = 0$; координаты вектора $\vec {\tau }_{Q{рез}} : x_{2}=\tau _{yQ} sin \alpha , y_{2}=\tau _{yQ} cos \alpha +\tau _{Q}$:

$\cos \varphi =\tau _{мQ} \sin \alpha /\sqrt {(\tau _{мQ} \sin \alpha )^2+(\tau _{мQ} \cos \alpha +\tau _Q )^2} = 80,6\cdot 0,46/\sqrt {(80,6\cdot 0,46)^2+(80,6\cdot 0,89+7,3)^2} =0,43$

4). Определяем суммарное напряжение в соединении

$\tau _f =\sqrt {\tau _N^2 +\tau _{Q{рез}}^2 +2\tau _N \tau _{Q{рез}}\cos \varphi } = \sqrt {18,3^2+86,9^2+2\cdot 18,3\cdot 86,9\cdot 0,43} =96,2$ МПа

$\tau _{f} / R_{wf} = 96,2 / 200 = 0,48$.

Таким образом, при $k_{f} = 10$ мм суммарное напряжение в 0,48 раза меньше расчетного сопротивления. Следовательно, катет шва в соединении следует принять $k_{f} = 5$ мм.

$l_{1} = 20$ см; $l_{2} = 16$ см; $l_{3} = 90$ см

Проверка прочности соединения при $k_{f} = 5$ мм показывает правильность расчета:

$А_{w} = 27,3 см^{2}; \tau _{N} = 100 \cdot 10 / 27,3 = 36,6$ МПа;

$\tau _{Q} = 38 \cdot 10 / 27,3 = 13,9 МПа; I_{fx} = 2366 см^{4}; I_{fy} = 2557$ см$^{4}$;

$\tau _{мQ} = 38 \cdot 10^{3} \cdot 21,5 / 4923 = 166$ МПа;

$\tau _{Q{рез}} =\sqrt {13,9^2 +166^2 +2\cdot 13,9\cdot 166\cdot 0,89} =179$ МПа; $cos \phi = 0,43$;

$\tau _f =\sqrt {36,6^2+179^2+2\cdot 36,6\cdot 179\cdot 0,43} =198 МПа < 200$ МПа.