Поверхностный интеграл первого рода {по площади поверхности} и его свойства

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf{\textit{x,y,z}}\mathbf{ }$ задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, на которой определена функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$.$\mathbf{ }$

Разобьём поверхность на $n$ частей $\sigma _1 ,\sigma _2 ,\ldots \sigma _i ,\ldots \sigma _n $, на каждой из частей $\sigma _i $ выберем произвольную точку $M_i (x_i ,y_i ,z_i )$, найдём $f(M_i )=f(x_i ,y_i ,z_i )$ и площадь части $\sigma _i $ {которую будем обозначать тем же символом $\sigma _i )$ и составим интегральную сумму $\sum\limits_{i=1}^n {f(M_i )\cdot \sigma _i } $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots n} diam\sigma _i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения поверхности $\sigma $ на части $\sigma _i (i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M_i $, то функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ называется интегрируемой по поверхности $\sigma $, а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности и обозначается $\iint\limits_\sigma {f(M)\cdot d\sigma }$.

Теорема существования Если функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ непрерывна на поверхности $\sigma $, то она интегрируема по этой поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода.

  1. Линейность. $\iint\limits_\sigma {(\lambda \,f+}\mu \,g)d\sigma =\lambda \iint\limits_\sigma {fd\sigma }+\mu \iint\limits_\sigma {gd\sigma }$
  2. Аддитивность $\iint\limits_{\sigma _1 \cup \sigma _2 } {fd\sigma }=\iint\limits_{\sigma _1 } {fd\sigma }\iint\limits_{\sigma _2 } {fd\sigma }$
  3. $\iint\limits_\sigma {d\sigma }=S_\sigma -$ площадь поверхности.
  4. Если $f(x,\,y,\,z)\geqslant g(x,\,y,\,z)$, то $\iint\limits_\sigma {fd\sigma \geqslant \iint\limits_\sigma {gd\sigma }}$ {если $f\geqslant 0$, то $\iint\limits_\sigma {fd\sigma }\geqslant 0)$,
  5. Теорема об оценке Если $m\leqslant f\left( {x,\,y,\,z} \right)\leqslant M$, то $mS_\sigma \leqslant \iint\limits_\sigma {fd\sigma }\leqslant MS_\sigma $,
  6. Теорема о среднем Пусть функция $f(M)=f(x,\,y,\,z)$ непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности $\sigma $. Тогда на поверхности найдется точка С, такая что $f(C)=\frac{1}{S_\sigma }\iint\limits_\sigma {f\left( {x,\,y,\,z} \right)d\sigma }$

Доказательство

Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода {записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом}. Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности