Поток жидкости через поверхность

Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём $\mathbf{\textit{V}}$ течёт поток жидкости, имеющий скорость $\bar {v}(M)$ в точке $\mathbf{\textit{M}}$. Пусть в $\mathbf{\textit{V}}$ размещена проницаемая {возможно, воображаемая} поверхность $\sigma $. Требуется найти количество $\Pi $ жидкости, протекающей через $\sigma $ за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

potok-zhidkosti-cherez-poverkhnost-0

В случае, когда $\sigma $ - ограниченная плоская область и $\bar {v}(M)= \overline {const}$, решение очевидно. Это количество равно объёму, ограниченному цилиндрической поверхностью с основанием $\sigma $ и боковой стороной $\bar {v}(M)$. Площадь основания объёма равна $\sigma $ {этим символом мы обозначаем и поверхность, и её площадь}, высота $h=\mbox{пр}_{\bar {n}} \bar {v}=\vert \bar {v}\vert \cos \varphi =\bar {v}\cdot \bar {n}$, т.е. равна скалярному произведению вектора скорости на единичный вектор нормали. Итак, $\Pi =\bar {v}\bar {n}\sigma $. Заметим, что изобразив на рисунке единичный вектор нормали, мы ввели на поверхности ориентацию. Так, применительно к рисунку справа, мы выбрали верхнюю сторону поверхности; если бы выбрали противоположную нормаль, поток изменил бы знак.

Возможны два способа представления этой величины.

  1. Обозначив $f=(\bar {v}\cdot \bar {n})$, получим $\prod = f\cdot\sigma$
  2. Если в некоторой координатной системе $\bar {v}(M)$ имеет координаты $\mathbf{\textit{P}}$, $\mathbf{\textit{Q}}$, $\mathbf{\textit{R}}$, единичный вектор $\bar {n}(M)$ имеет координаты - направляющие косинусы $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma $, то $\Pi =\bar {v}\bar {n}\sigma =(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\sigma =P(\cos \alpha \cdot \sigma )+Q(\cos \beta \cdot \sigma )+R(\cos \gamma \cdot \sigma )$.

Чему равно произведение $\cos \gamma \cdot \sigma $? Произведение $\vert \cos \gamma \vert \cdot \sigma $ равно площади $s(D_{xy} )$ проекции $D_{xy} $ поверхности $\sigma $ на плоскость $\mathbf{\textit{Oxy }}$ {площади всегда положительны}.

Следовательно, $\cos \gamma \cdot \sigma $ равно $s(D_{xy} )$, если $\cos \gamma \geqslant 0$ {или, что то же самое, угол $\gamma $ - острый; проекция $\bar {n}(M)$ на орт $\bar {k}$ оси $\mathbf{\textit{Oz}}$ положительна}. Этот случай соответствует верхнему рисунка.

potok-zhidkosti-cherez-poverkhnost-1

Соответственно, $\cos \gamma \cdot \sigma $ равно $-s(D_{xy} )$, если $\cos \gamma <0$ {или, что то же самое, угол $\gamma $ - тупой; проекция $\bar {n}(M)$ на орт $\bar {k}$ оси $\mathbf{\textit{Oz}}$ отрицательна}. Этот случай соответствует нижнему рисунку. Итак, можно записать $R(\cos \gamma \cdot \sigma )=\pm R\cdot s(D_{xy} )$.

Аналогично изложенному, $P(\cos \alpha \cdot \sigma )=\pm P\cdot s(D_{yz} )$, где следует взять знак "+", если угол $\alpha $ - острый, и "-", если этот угол тупой, и $Q(\cos \beta \cdot \sigma )=\pm Q\cdot s(D_{xz} )$, где берётся знак "+", если угол $\beta $ - острый, и "-", если этот угол тупой; $D_{yz} $ - проекция $\sigma $ на плоскость $\mathbf{\textit{Oyz}}$, $D_{xz} $ - проекция $\sigma $ на плоскость $\mathbf{\textit{Oxz}}$. Окончательно, $\Pi =\pm P\cdot s(D_{yz} )\pm Q\cdot s(D_{xz} )\pm R\cdot s(D_{xy} )$.

Пусть теперь $\sigma $ - произвольная гладкая ограниченная поверхность, и скорость $\bar {v}(M)$ может меняться от точки к точке. Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём $\sigma $ сетью кривых на $n$ частей $\sigma _1 ,\sigma _2 ,\ldots \sigma _i ,\ldots \sigma _n $, на каждой из частей $\sigma _i $ выберем произвольную точку $M_i $, и, считая, что $\sigma _i $ - плоская область, скорость $v\bar {(}M)$ по $\sigma _i $ постоянна и равна $\bar {v}(M_i )$ и что ориентация всей части $\sigma _i $ характеризуется единичным нормальным вектором $\bar {n}(M_i )$, получим, что через $\sigma _i $ в единицу времени протекает $\Pi _i =\bar {v}(M_i )\bar {n}(M_i )\sigma _i $ жидкости {$i=1,2,\ldots ,n$}.

Как мы видели, это выражение можно представить и в виде $\Pi _i =\bar {v}(M_i )\bar {n}(M_i )\sigma _i =f(M_i )\sigma _i $ {где $f(M_i )=\left| {\bar {v}(M_i )} \right|\cdot \cos \varphi (M_i ), \varphi (M_i )$ - угол между $\bar {n}(M_i )$ и $\bar {v}(M_i ))$, и в виде $\prod_{i} =\pm P(M_{i})\cdot s({D_{i}}_{yz})\pm Q(M_i)\cdot s({D_{i}}_{xz})\pm R(M_i)\cdot s({D_{i}}_{xy})$.

Суммируя эти выражения по всем $n$ дугам, получим выражения двух интегральных сумм: $\sum\limits_{i=1}^n {f(M_i )\cdot \sigma _i } $ и $\sum\limits_{i=1}^n {\left[ {\pm P(M_i )\cdot s({D_i}_{yz} )\pm Q(M_i )\cdot s({D_i}_{xz} )\pm R(M_i )\cdot s({D_i}_{xy} )} \right]} $.

Переход к пределу в этих интегральных суммах при $\mathop {\max }\limits_{i = 1,2,\ldots , n} diam (\sigma i )\rightarrow 0$ приведёт к двум поверхностным интегралам: $\iint\limits_\sigma {f(M)\cdot d\sigma }$ и $\iint\limits_\sigma {\pm P(M)ds_{yz} \pm Q(M)ds_{xz} \pm R(M)ds_{xy} }$

Первый из этих интегралов называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности. Во втором интеграле элементы площади в координатных плоскостям принято записывать так, как мы это делали в двойном интеграле: $ds_{yz} =dydz,ds_{xz} =dxdz,ds_{xy} =dxdy$ и опускать знаки перед слагаемыми: $\iint\limits_\sigma {P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy}$ - этот интеграл называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам. Как и криволинейные интегралы двух родов, это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, поверхностный интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности, так как угол $\phi$ входит в подынтегральную функцию в явном виде, в то время как поверхностный интеграл второго рода меняет знак при изменении стороны поверхности {вектор $\bar {n}(M)$ меняется на $-\bar {n}(M)$}.