Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Масса поверхности

Пусть на поверхности $\sigma $ распределена масса с поверхностной плотностью $\mu (\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$. Тогда масса $\mathbf{\textit{m}}$ поверхности равна

$\mathbf{\textit{m}}=\iint\limits_\sigma {\mu (x,y,z)d\sigma }$.

Статические моменты и центр масс

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей $\mathbf{\textit{OYZ}}$, $\mathbf{\textit{OXZ}}$, $\mathbf{\textit{OXY}}$ равны соответственно $M_{yz} =\iint\limits_\sigma {x\mu d\sigma}, M_{xz} =\iint\limits_\sigma {y\mu d\sigma}, M_{xy} =\iint\limits_\sigma {z\mu d\sigma}$

Координаты центра масс поверхности

$\sigma $ равны $\mathbf{\textit{x}}_{c }=\frac{M_{yz} }{m}$, $\mathbf{\textit{y}}_{c}=\frac{M_{xz} }{m}$, $\mathbf{\textit{z}}_{c }=\frac{M_{xy} }{m}$.

Моменты инерции

Момент инерции поверхности $\sigma $ относительно прямой $\mathbf{\textit{L}}$ равен $\mathbf{\textit{I}}_{L}=\iint\limits_\sigma {r_L^2 \mu d\sigma }$, где $r_L =\mathbf{\textit{r}}_{L}(\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}},\mathbf{\textit{z}})$ - расстояние от точки {$\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}},\mathbf{\textit{z}}$}, лежащей на поверхности $\sigma $, до прямой $\mathbf{\textit{L}}$. В частности, моменты инерции относительно координатных осей $\mathbf{\textit{OX}},\mathbf{\textit{OY}}$, $\mathbf{\textit{OZ}}$ равны

$I_x =\iint\limits_\sigma {(y^2+z^2)\mu d\sigma }$,

$I_y =\iint\limits_\sigma {(x^2+z^2)\mu d\sigma }$,

$I_z =\iint\limits_\sigma {(x^2+y^2)\mu d\sigma }$.

Момент инерции относительно точки $\mathbf{\textit{P}}(\mathbf{\textit{x}}_{0}$,$\mathbf{\textit{y}}_{0}$,$\mathbf{\textit{z}}_{0})$ равен $ I_p =\iint\limits_\sigma {((x-x_0 )^2+(y-y_0 )^2+(z-z_0 )^2)\mu (x,y,z)d\sigma } $

Момент инерции относительно начала координат равен $ I_0 =\iint\limits_\sigma {(x^2+y^2+z^2)\mu (x,y,z)d\sigma =\frac{1}{2}(I_x +I_y +I_z ).} $

Пример 1

Найти координаты центра масс полусферы $\mathbf{\textit{x}}^{2 }+\mathbf{\textit{y}}^{2 }+\mathbf{\textit{z}}^{2 }=\mathbf{\textit{R}}^{2},\mathbf{\textit{z}} \leqslant 0$, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси $\mathbf{\textit{OZ}}$.

Решение

Масса полусферы $\sigma $ равна

$ \begin{array}{l} M=\iint\limits_\sigma {\mu d\sigma =\iint\limits_\sigma {\sqrt {x^2+y^2} d\sigma =}}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2} {\sqrt {x^2+y^2} \cdot \sqrt {1+((\sqrt {R^2-x^2-y^2} {)}'_x )^2+((\sqrt {R^2-x^2-y^2} {)}'_y )^2} }dxdy= \\ =\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2} {\sqrt {x^2+y^2} \cdot \sqrt {1+\frac{x^2+y^2}{R^2-x^2-y^2}} dxdy=}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2} {\sqrt {x^2+y^2} \cdot \frac{Rdxdy}{\sqrt {R^2-x^2-y^2} }=R\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^R {\frac{r^2dr}{\sqrt {R^2-r^2} }=} } \\ =2\pi R\int\limits_0^R {\frac{r^2-R^2+R^2}{\sqrt {R^2-r^2} }dr=2\pi R\left( {R^2\arcsin \left. {\frac{r}{R}} \right|_0^R -\int\limits_0^R {\sqrt {R^2-r^2} } dr} \right)=\frac{\pi ^2R^3}{2}.} \\ \end{array} $

{Мы воспользовались тем, что интеграл $\int\limits_0^R {\sqrt {R^2-r^2} dr} $ равен четверти площади круга радиуса $\mathbf{\textit{R}}$ , т.е. $\frac{\pi R^2}{4}$}.

Пример 2

Найти массу поверхности $G:\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x^2+y^2+z^2=16} \hfill \\ {y\geqslant 0} \hfill \\ {0\leqslant z\leqslant 3} \hfill \\ \end{array} }} \right.$ с поверхностной плотностью $\gamma = 2z^{2} + 3$.

Решение

На рассматриваемой поверхности $z=\sqrt {16-x^2-y^2}$,

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt {16-x^2-y^2} },\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt {16-x^2-y^2} }.$ Тогда

$ dS=\sqrt {1+\frac{x^2}{16-x^2-y^2}+\frac{x^2}{16-x^2-y^2}} dxdy=\frac{4}{\sqrt {16-x^2-y^2} }dxdy. $

Проекцией $D$ этой поверхности на координатную плоскость $Oxy$ является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу массы поверхности и перехода к полярным координатам, получим:

$ \begin{array}{c} M=4\iint\limits_D {\frac{2(16-x^2-y^2)+3}{\sqrt {16-x^2-y^2} }}dxdy=4\int\limits_0^\pi {d\varphi } \int\limits_3^4 {\frac{2(16-\rho ^2)+3}{\sqrt {16-\rho ^2} }} \rho d\rho = \\ =4\pi \left( {-\frac{1}{2}} \right)\int\limits_7^0 {\frac{2t+3}{\sqrt t }} dt=2\pi \int\limits_0^7 {\left( {2t^{\frac{1}{2}}+3t^{-\frac{1}{2}}} \right)} dt=2\pi \left( {\frac{4}{3}t^{\frac{3}{2}}+6t^{\frac{1}{2}}} \right)\left| {{\begin{array}{*{20}c} {^7} \hfill \\ {_0 } \hfill \\ \end{array} }} \right.= \\ =2\pi \left( {\frac{28}{3}\sqrt 7 +6\sqrt 7 } \right)=\frac{92\sqrt 7 }{3}\pi . \\ \end{array} $