Формула Гаусса - Остроградского

Формула Гаусса - Остроградского является аналогом формулы Грина - Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Для вывода формулы Гаусса - Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина - Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.

После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса - Остроградского:

$ \iint\limits_S {Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}=\iiint\limits_V {\left( {\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial R(x,y,z)}{\partial z}} \right)dxdydz} $

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Гаусса - Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

Имеют место формулы:

$ V=\iint\limits_S {xdydz}=\iint\limits_S {ydxdz}=\iint\limits_S {zdxdy}=\iiint\limits_V {dxdydz} $

Пример 1

Найти формулу вычисления объема шара.

В поперечных сечениях шара {сечения параллельны плоскости $XOY$} получаются окружности.

Уравнение шара имеет вид: $x^2+y^2+z^2=R^2$

Найти объем шара можно по формуле: $ V=\int\limits_{-R}^R {\int\limits_{-\sqrt {R^2-x^2} }^{\sqrt {R^2-x^2} } {\int\limits_{-\sqrt {R^2-x^2-y^2} }^{\sqrt {R^2-x^2-y^2} } {dzdydx} } } =8\int\limits_0^R {dx\int\limits_{-\sqrt {R^2-x^2} }^{\sqrt {R^2-x^2} } {\sqrt {R^2-x^2-y^2} dy} } = \\ $ $ \begin{array}{l} = 8\int\limits_0^R {\left[ {\frac{y\sqrt {R^2-x^2-y^2} }{2}+\frac{R^2-x^2}{2}\arcsin \frac{y}{\sqrt {R^2-x^2} }} \right]\mathop {\left| {dx} \right.}\limits_0^{\sqrt {R^2-x^2} } } =8\int\limits_0^R {\frac{R^2-x^2}{2}\cdot \frac{\pi }{2}dx} =2\pi \left[ {R^2x-\frac{x^3}{3}} \right]\mathop {\left| \right.}\limits_0^R = \frac{4\pi R^3}{3} \end{array} $

Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам. Это значительно упростит интегрирование.

$ V=\int\limits_0^\pi {d\theta } 2\int\limits_0^\pi {d\varphi } \int\limits_0^R {\rho ^2\sin \varphi d\rho } =2\int\limits_0^\pi {d\theta } \int\limits_0^\pi {\frac{R^3}{3}\sin \varphi d\varphi } =\frac{2}{3}\int\limits_0^\pi {2R^3d\theta } =\frac{4\pi R^3}{3}. $