Несобственные интегралы по неограниченной области

Логика определения сходимости несобственного двойного, тройного, $\mathbf{\textit{n}}$ - кратного интеграла по неограниченной области такая же, как и для несобственного определённого интеграла: мы ограничиваем область, вычисляем интеграл по этой ограниченной области, и, затем, расширяя область интегрирования до исходной, смотрим, существует или нет конечный предел значения интеграла. Рассмотрим это более подробно для случая двойного интеграла.

Пусть в неограниченной области $\mathbf{\textit{D}}$ определена функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}, \mathbf{\textit{y}})$. Построим бесконечную последовательность ограниченных областей $\mathbf{\textit{G}}_{i}, \mathbf{\textit{i}} = 1,2,\ldots$, удовлетворяющую следующим условиям:

  1. $G_{i+1} \supset G_i $,
  2. $\mbox{diam(}G_\mbox{i} )\to \infty \;\mbox{при}\;i\to \infty $,
  3. для любой точки $P\in D$ существует такой номер $\mathbf{\textit{i}}_{0}$, что $P\in G_i $ при $i\geqslant i_0 $.

Пусть теперь $D_i =D\cap G_i $. Любая такая область ограничена. Рассмотрим последовательность значений интегралов $I_i =\iint\limits_{D_i } {f(x,y)dxdy}$. Если для любой последовательности ${G_i }$ существует конечный $\mathop {\lim }\limits_{i\to \infty } I_i $, то несобственный интеграл $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$ называется сходящимся, а значение предела - значением этого интеграла; если хотя бы для одной последовательности ${G_i } \quad \mathop {\lim }\limits_{i\to \infty } I_i $ не существует или бесконечен, несобственный интеграл $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$ называется расходящимся.

Можно показать, что если подынтегральная функция сохраняет знак на области $\mathbf{\textit{D}}$, то для сходимости $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$ достаточно существования конечного $\mathop {\lim }\limits_{i\to \infty } \iint\limits_{D_i } {f(x,y)dxdy}$ для какой-либо одной последовательности ${G_i }$. Очевидно, что для таких функций справедливы признаки сравнения. Другое важное свойство, которое мы вводили для сходимости несобственных определенных интегралов, свойство абсолютной сходимости, для кратных интегралов теряет смысл: оказывается, что если сходится $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$, то обязательно сходится и $\iint\limits_D {\vert f(x,y)\vert dxdy}$

Рассмотрим два примера.

1}. $I_i =\iint\limits_{(x,y)|x^2+y^2\geqslant 1 } {\frac{dxdy}{\left( {\sqrt {x^2+y^2} } \right)^p}}=\iint\limits_{D_i } {\frac{rdrd\varphi }{r^p}}=\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_1^i {\frac{dr}{r^{p-1}}} } =2\pi \left. {\left( {-\frac{1}{p-2}\cdot \frac{1}{r^{p-2}}} \right)} \right|_1^i $ Здесь область $\mathbf{\textit{D}}$ - внешность круга радиуса 1. Выберем последовательность $\left[ {G_i =\left( {x,y} \right)\vert 1\leqslant x^2+y^2\leqslant i^2,\;i=2,3,...} \right]$ {кольца, ограниченные окружностями радиуса 1 и $i$}, тогда $D_i =G_i $, и $p\ne 2$

$I_i =\iint\limits_{D_i } {\frac{dxdy}{\left( {\sqrt {x^2+y^2} } \right)^p}}=\iint\limits_{D_i } {\frac{rdrd\varphi }{r^p}}=\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_1^i {\frac{dr}{r^{p-1}}} } =2\pi \left. {\left( {-\frac{1}{p-2}\cdot \frac{1}{r^{p-2}}} \right)} \right|_1^i $. Это выражение имеет конечный предел при $i\to \infty $, если $\mathbf{\textit{p}} > 2$. Случай $\mathbf{\textit{p}} = 2$ исследуется отдельно и приводит к расходимости. Таким образом, исследуемый интеграл сходится при $\mathbf{\textit{p}} > 2$.

Упражнение Самостоятельно доказать, что $\iiint\limits_{\left[ {(x,y,z)\vert x^2+y^2+z^2\geqslant 1} \right]} {\frac{dxdydz}{\left( {\sqrt {x^2+y^2+z^2} } \right)^p}}$ сходится при $\mathbf{\textit{p}} > 3$.

2}. Цель этого примера - найти значение интеграла, который играет важную роль в теории вероятностей, при решении уравнений в частных производных и в большом числе других приложений - $\textbf{интеграла Пуассона} \quad \Pi =\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {e^{-x^2}dx} $.

Рассмотрим двойной интеграл по всей плоскости $\iint\limits_{\left[ {\begin{array}{l} -\infty \leqslant x\leqslant +\infty \\ -\infty \leqslant y\leqslant +\infty \\ \end{array}} \right]} {e^{-x^2-y^2}dxdy}$. В качестве областей $\mathbf{\textit{G}}_{i}$ выберем круги радиуса $\mathbf{\textit{i}}$: $\left[ {G_i =\left( {x,y} \right)\vert 0\leqslant x^2+y^2\leqslant i^2,\;i=1,\,2,\,3,...} \right]$, и в этом случае $\mathbf{\textit{D}}_{i}=\mathbf{\textit{G}}_{i}$.$\, \quad I_i =\iint\limits_{D_i } {e^{-x^2-y^2}dxdy}=\iint\limits_{D_i } {e^{-r^2}rdrd\varphi }=-\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^i {e^{-r^2}d(-r^2)} } =-\pi \left. {\left( {e^{-r^2}} \right)} \right|_0^i =\pi \left( {1-e^{-i^2}} \right)\mathop \to \limits_{i\to \infty } \pi $.

С другой стороны, если расписать двойной интеграл $\iint\limits_{\left[ {\begin{array}{l} -\infty \leqslant x+\leqslant \infty \\ -\infty \leqslant y\leqslant +\infty \\ \end{array}} \right]} {e^{-x^2-y^2}dxdy}$ в виде повторного, получим $\iint\limits_{\left[ {\begin{array}{l} -\infty \leqslant x\leqslant +\infty \\ -\infty \leqslant y\leqslant +\infty \\ \end{array}} \right]} {e^{-x^2-y^2}dxdy}=\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {e^{-x^2}dx} \int\limits_{-\infty }^{+\infty } {e^{-y^2}dy} =\Pi ^2$, и так как $\Pi ^2=\pi $, то $\Pi =\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {e^{-x^2}dx} =\sqrt \pi $.