Несобственные интегралы от неограниченной функции

Структура множества точек, в окрестностях которых функция двух, трех и большего числа переменных может оказаться неограниченной, может быть достаточно сложной. Так, функция трёх переменных может быть неограниченной в окрестности одной точки $\left( { f(x,y,z)=\frac { 1 } { (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 } }\right)$, прямой $\left( { f(x,y,z)=\frac { 1 } { (x-1)^2+(y-2)^2 } }\right)$, плоскости $\left( { f(x,y,z)=\frac { 1 } { (x-1)^2 } }\right)$; естественно, возможны более сложные случаи. Мы рассмотрим самый простой случай, когда функция неограничена в окрестности единственной точки.

Пусть функция двух переменных $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } )$ определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области $\mathbf { \textit { D } } $ всюду, за исключением точки $\mathbf { \textit { P } } _ { 0 } $. Возьмём бесконечную последовательность ограниченных областей $\mathbf { \textit { G } } _ { i } , \mathbf { \textit { i } } = 1,2,\ldots$, удовлетворяющую следующим условиям:

1. $G_ { i+1 } \subset G_i $,
2. $\mbox { diam( } G_\mbox { i } )\to 0\;\mbox { при } \;i\to \infty $,

Пусть теперь $D_i =D\backslash G_i $. В каждой такой области функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } )$ непрерывна. Рассмотрим последовательность значений интегралов $I_i =\iint\limits_ { D_i } { f(x,y)dxdy } $. Если для любой последовательности $\ { G_i \ } $ существует конечный $\mathop { \lim } \limits_ { i\to \infty } I_i $, то несобственный интеграл $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $ называется сходящимся, а значение предела - значением этого интеграла; если хотя бы для одной последовательности $\ { G_i \ } \quad \mathop { \lim } \limits_ { i\to \infty } I_i $ не существует или бесконечен, несобственный интеграл $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $ называется расходящимся.

И в этом случае можно показать, что:

1. если подынтегральная функция сохраняет знак на области $\mathbf { \textit { D } } $, то для сходимости $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $ достаточно существования конечного $\mathop { \lim } \limits_ { i\to \infty } \iint\limits_ { D_i } { f(x,y)dxdy } $ для какой-либо одной последовательности $\ { G_i \ } $.
2. Для таких функций справедливы признаки сравнения.
3. Если сходится $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $, то обязательно сходится и $\iint\limits_D { \vert f(x,y)\vert dxdy } $

Пример 1

$\iint\limits_ { \left[{ (x,y)\vert x^2+y^2\leqslant 1 }\right] } { \frac { dxdy } { \left( { \sqrt { x^2+y^2 } }\right)^p } } $.

Здесь область $\mathbf { \textit { D } } $ - внутренность круга радиуса 1. Выберем последовательность $\left[{ G_i =\left( { x,y }\right)\vert x^2+y^2\leqslant \left( { \frac { 1 } { i } }\right)^2,\;i=2,3,... }\right]$ { круги радиуса 1/$\mathbf { \textit { i } } $ } , тогда $D_i =D\backslash G_i $ - кольцо $\left[{ D_i =\left( { x,y }\right)\vert \left( { \frac { 1 } { i } }\right)^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 1,\;i=2,3,... }\right]$, и $p\ne 2$

$I_i =\iint\limits_ { D_i } { \frac { dxdy } { \left( { \sqrt { x^2+y^2 } }\right)^p } } =\iint\limits_ { D_i } { \frac { rdrd\varphi } { r^p } } =\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi \int\limits_ { 1/i } ^1 { \frac { dr } { r^ { p-1 } } } } =2\pi \left. { \left( { -\frac { 1 } { p-2 } \cdot \frac { 1 } { r^ { p-2 } } }\right) }\right|_ { 1/i } ^1 $. Это выражение имеет конечный предел при $i\to \infty $, если $\mathbf { \textit { p } } < 2$. Случай $\mathbf { \textit { p } } = 2$ исследуется отдельно и приводит к расходимости. Таким образом, исследуемый интеграл сходится при $\mathbf { \textit { p } } < 2$.

Упражнение Самостоятельно доказать, что $\iiint\limits_ { \left[{ (x,y,z)\vert x^2+y^2+z^2\leqslant 1 }\right] } { \frac { dxdydz } { \left( { \sqrt { x^2+y^2+z^2 } }\right)^p } } $ сходится при $\mathbf { \textit { p } } < 3$