Несобственные интегралы от неограниченной функции

Структура множества точек, в окрестностях которых функция двух, трех и большего числа переменных может оказаться неограниченной, может быть достаточно сложной. Так, функция трёх переменных может быть неограниченной в окрестности одной точки $\left( {f(x,y,z)=\frac{1}{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}} \right)$, прямой $\left( {f(x,y,z)=\frac{1}{(x-1)^2+(y-2)^2}} \right)$, плоскости $\left( {f(x,y,z)=\frac{1}{(x-1)^2}} \right)$; естественно, возможны более сложные случаи. Мы рассмотрим самый простой случай, когда функция неограничена в окрестности единственной точки.

Пусть функция двух переменных $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$ определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области $\mathbf{\textit{D}}$ всюду, за исключением точки $\mathbf{\textit{P}}_{0}$. Возьмём бесконечную последовательность ограниченных областей $\mathbf{\textit{G}}_{i}, \mathbf{\textit{i}} = 1,2,\ldots$, удовлетворяющую следующим условиям:

  1. $G_{i+1} \subset G_i $,
  2. $\mbox{diam(}G_\mbox{i} )\to 0\;\mbox{при}\;i\to \infty $,

Пусть теперь $D_i =D\backslash G_i $. В каждой такой области функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$ непрерывна. Рассмотрим последовательность значений интегралов $I_i =\iint\limits_{D_i } {f(x,y)dxdy}$. Если для любой последовательности ${G_i }$ существует конечный $\mathop {\lim }\limits_{i\to \infty } I_i $, то несобственный интеграл $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$ называется сходящимся, а значение предела - значением этого интеграла; если хотя бы для одной последовательности ${G_i } \quad \mathop {\lim }\limits_{i\to \infty } I_i $ не существует или бесконечен, несобственный интеграл $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$ называется расходящимся.

И в этом случае можно показать, что:

  1. если подынтегральная функция сохраняет знак на области $\mathbf{\textit{D}}$, то для сходимости $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$ достаточно существования конечного $\mathop {\lim }\limits_{i\to \infty } \iint\limits_{D_i } {f(x,y)dxdy}$ для какой-либо одной последовательности ${G_i }$.
  2. Для таких функций справедливы признаки сравнения.
  3. Если сходится $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$, то обязательно сходится и $\iint\limits_D {\vert f(x,y)\vert dxdy}$

Пример 1

$\iint\limits_{\left[ {(x,y)\vert x^2+y^2\leqslant 1} \right]} {\frac{dxdy}{\left( {\sqrt {x^2+y^2} } \right)^p}}$.

Здесь область $\mathbf{\textit{D}}$ - внутренность круга радиуса 1. Выберем последовательность $\left[ {G_i =\left( {x,y} \right)\vert x^2+y^2\leqslant \left( {\frac{1}{i}} \right)^2,\;i=2,3,...} \right]$ {круги радиуса 1/$\mathbf{\textit{i}}$}, тогда $D_i =D\backslash G_i $ - кольцо $\left[ {D_i =\left( {x,y} \right)\vert \left( {\frac{1}{i}} \right)^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 1,\;i=2,3,...} \right]$, и $p\ne 2$

$I_i =\iint\limits_{D_i } {\frac{dxdy}{\left( {\sqrt {x^2+y^2} } \right)^p}}=\iint\limits_{D_i } {\frac{rdrd\varphi }{r^p}}=\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_{1/i}^1 {\frac{dr}{r^{p-1}}} } =2\pi \left. {\left( {-\frac{1}{p-2}\cdot \frac{1}{r^{p-2}}} \right)} \right|_{1/i}^1 $. Это выражение имеет конечный предел при $i\to \infty $, если $\mathbf{\textit{p}} < 2$. Случай $\mathbf{\textit{p}} = 2$ исследуется отдельно и приводит к расходимости. Таким образом, исследуемый интеграл сходится при $\mathbf{\textit{p}} < 2$.

Упражнение Самостоятельно доказать, что $\iiint\limits_{\left[ {(x,y,z)\vert x^2+y^2+z^2\leqslant 1} \right]} {\frac{dxdydz}{\left( {\sqrt {x^2+y^2+z^2} } \right)^p}}$ сходится при $\mathbf{\textit{p}} < 3$