Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Из формулы Грина $\oint\limits_С {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $ следует неожиданный результат: если функции $\mathbf{\textit{P}}$ и $\mathbf{\textit{Q}}$ удовлетворяют условию $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$, то $\oint\limits_С {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=} S(D)$, $S(D)$ - площадь области $\mathbf{\textit{D}}$.

Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций $\mathbf{\textit{P}}$ и $\mathbf{\textit{Q}}$ можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$, например, $P=0, Q=x$; $P=-y, Q=0$; $P=-\frac{y}{2},\;Q=\frac{x}{2}$; $P=2xy,\;Q=x^2+y^2+x$ и т.д.

В результате $S(D)=\oint\limits_C {xdy} =-\oint\limits_C {ydx} =\frac{1}{2}\oint\limits_C {xdy-ydx} $ и т.д.

При этом контур $\mathbf{\textit{C}}$ {граница области $\mathbf{\textit{D}}$} обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул.

Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Параметрические уравнения эллипса $x=a\cos t,\;y=b\sin t$, поэтому $S(D)=\frac{1}{2}\oint\limits_C {xdy-ydx} =\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi } {ab(\cos ^2t+\sin ^2t)dt} =\pi ab$ - это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.