Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости $\mathbf{\textit{Оху}}$, и задаётся функцией $y=y(x),\;a\leqslant x\leqslant b$, то, рассматривая $\mathbf{\textit{х}}$ как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: $\int\limits_L {f(x,y)dl=\int\limits_a^b {f(x,y(x))\sqrt {1+[{y}'(x)]^2} \,dx} } $. Аналогично, если кривая задаётся уравнением $x=x(y),\;c\leqslant y\leqslant d$, то $\int\limits_L {f(x,y)dl=\int\limits_c^d {f(x(y),y)\sqrt {1+[{x}'(y)]^2} \,dy} } $.

Примеры:

Пример 1

Вычислить $\int\limits_L {xy^2dl} $, где $L$ - четверть окружности $x^2+y^2=9$, лежащая в четвёртом квадранте.

vychislenie-krivolineinogo-integrala-pervogo-roda-0

Решение:

  1. Рассматривая $\mathbf{\textit{х}}$ как параметр, получаем $y=-\sqrt {9-x^2} ,\;{y}'(x)=\frac{x}{\sqrt {9-x^2} }, \quad \sqrt {1+{y}'^2(x)} =\frac{3}{\sqrt {9-x^2} }$, поэтому $\int\limits_L {xy^2dl} =\int\limits_0^3 {x\left[ {-\sqrt {9-x^2} } \right]^2\cdot \frac{3}{\sqrt {9-x^2} }} dx= 3\int\limits_0^3 {x\cdot \sqrt {9-x^2} } dx=-\left. {\left[ {\sqrt {9-x^2} } \right]^3} \right|_0^3 =27$
  2. Если за параметр взять переменную $\mathbf{\textit{у}}$, то $x=\sqrt {9-y^2} ,\;{x}'(y)=\frac{-y}{\sqrt {9-y^2} }, \quad dl=\frac{3dy}{\sqrt {9-y^2} }$ и $\int\limits_L {xy^2dl} =\int\limits_0^3 {\sqrt {9-y^2} y^2\cdot \frac{3}{\sqrt {9-y^2} }} dy=\left. {y^3} \right|_0^3 =27$
  3. Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности $x=3\cos t, \quad y=3\sin t,\;3\pi /2\leqslant t\leqslant 2\pi : \int\limits_L {xy^2dl} =\int\limits_{3\pi /2}^{2\pi } {3\cos t\cdot (3\sin t)^2\cdot \sqrt {(-3\sin t)^2+(3\cos t)^2} } dy=81\left. {\frac{\sin t}{3}^3} \right|_{3\pi /2}^{2\pi } =27$

Если кривая задана в полярных координатах $r=r(\varphi ),\;\varphi _0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi _k $, то $dl=\sqrt {r^2(\varphi )+{r}'^2(\varphi )} d\varphi $, и $\int\limits_L {f(x,y)dl} =\int\limits_{\varphi _0 }^{\varphi _k } {f(r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )\cdot \sqrt {r^2(\varphi )+{r}'^2(\varphi )} } \cdot d\varphi $.