Криволинейный интеграл. Введение

Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве $\mathbf{\textit{Oxyz}}$ вдоль кривой $L=\mathop {AB}\limits^\cup $ перемещается материальная точка под воздействием силы $\mathop {F(M)}\limits^\to =P(M)\cdot \mathop i\limits^\to +Q(M)\cdot \mathop j\limits^\to +R(M)\cdot \mathop k\limits^\to $; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

vvedenie-0

В случае, когда в качестве $L=\mathop {AB}\limits^\cup $ берётся $\mathop {\Delta l}\limits^\to \left[ {\Delta x,\Delta y,\Delta z} \right]$ - прямолинейный отрезок {левая часть рисунка}, и $\mathop {F(M)}\limits^\to =\mathop F\limits^\to \left[ {P,Q,R} \right]=const$ - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещения точки: $A=\mathop F\limits^\to \cdot \mathop {\Delta l}\limits^\to $. Это выражение можно трактовать двумя способами.

  1. По определению скалярного произведения $A=\mathop F\limits^\to \cdot \mathop {\Delta l}\limits^\to =\left( {F\cdot \cos \varphi } \right)\cdot \Delta l$. Здесь $F=\left| {\mathop F\limits^\to } \right|$, $\Delta l=\left| {\mathop {\Delta l}\limits^\to } \right|,\;\varphi $ - угол между $\mathop F\limits^\to \;\mbox{и}\;\mathop {\Delta l}\limits^\to $. Обозначим $f=F\cdot \cos \varphi $, тогда $A=f\cdot \Delta l$.
  2. Если расписать скалярное произведение в координатной форме, то $A=\mathop F\limits^\to \cdot \mathop {\Delta l}\limits^\to =P\cdot \Delta x+Q\cdot \Delta y+R\cdot \Delta z$.

Пусть теперь $L$ - произвольная гладкая ограниченная кривая, и сила $\mathop {F(M)}\limits^\to $ может меняться от точки к точке {правая часть рисунка}.

Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём кривую $L=\mathop {AB}\limits^\cup $ точками $A_0 =A,\;A_1 ,\;A_2 ,\ldots ,A_n =B$ на $n$ частей, на каждой из дуг $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup $ выберем произвольную точку $M_i $, и, считая, что дуга $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup $ - прямолинейный отрезок - вектор $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\to \left[ {\Delta x_i ,\Delta y_i ,\Delta z_i } \right]$ длины $\Delta l_i $, и сила вдоль этого отрезка постоянна и равна $\mathop F\limits^\to (M_i )$, получим, что работа вдоль этой дуги близка к $\Delta A_i =\mathop F\limits^\to (M_i )\cdot \mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\to (i=1,2,\ldots ,n)$.

Как мы видели, это выражение можно представить и в виде $\Delta A_i =\mathop F\limits^\to (M_i )\cdot \mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\to =f(M_i )\cdot \Delta l_i $ {где $f(M_i )=\left| {\mathop F\limits^\to (M_i )} \right|\cdot \cos \varphi (M_i ), \quad \;\varphi (M_i )$ - угол между $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\to $ и $\mathop F\limits^\to (M_i )$}, и в виде $\Delta A_i =\mathop F\limits^\to (M_i )\cdot \mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\to =P(M_i )\cdot \Delta x_i +Q(M_i )\cdot \Delta y_i +R(M_i )\cdot \Delta z_i $.

Суммируя эти выражения по всем $n$ дугам, получим выражения двух интегральных сумм:

$\sum\limits_{i=1}^n {f(M_i )\cdot \Delta l_i } $ и $\sum\limits_{i=1}^n {P(M_i )\cdot \Delta x_i +Q(M_i )\cdot \Delta y_i +R(M_i )\cdot \Delta z_i } $.

Переход к пределу в этих интегральных суммах при $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots n} \Delta l_i \to 0$ приведёт к двум криволинейным интегралам:

  1. $\int\limits_L {f(M)\cdot dl} $ и
  2. $\int\limits_L {P(M)\cdot dx+Q(M)\cdot dy+R(M)\cdot dz} $.

Первый из этих интегралов называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги; второй - криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координатам. Несмотря на то, что они описывают одну и ту же физическую величину, с математической точки зрения это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства.

В частности, криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления прохождения кривой:

$\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {f(M)\cdot dl} =\int\limits_{\mathop {BA}\limits^\cup } {f(M)\cdot dl} $

{так как угол $\phi $ между силой и кривой входит в подынтегральную функцию в явном виде}, в то время как криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления прохождения кривой:

$\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {P(M)\cdot dx+Q(M)\cdot dy+R(M)\cdot dz} =-\int\limits_{\mathop {BA}\limits^\cup } {P(M)\cdot dx+Q(M)\cdot dy+R(M)\cdot dz} $

{вектор $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\to \left[ {\Delta x_i ,\Delta y_i ,\Delta z_i } \right]$, координаты которого входят в интегральную сумму, меняется на вектор $\mathop {A_i A_{i-1} }\limits^\to \left[ {-\Delta x_i ,-\Delta y_i ,-\Delta z_i } \right]$}.