Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

В этом разделе будет дан ответ на вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода $\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} $ не зависит от формы пути, соединяющего точки $\mathbf{\textit{A}}$ и $\mathbf{\textit{B}}$, а определяется только этими точками?

Будем предполагать, что в некоторой односвязной области $G$ на плоскости заданы непрерывно дифференцируемые функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, и все рассматриваемые точки, контуры и области принадлежат этой области.

Теорема 1

Для того, чтобы интеграл $\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} $ не зависел от формы пути, соединяющего точки $\mathbf{\textit{A}}$ и $\mathbf{\textit{B}}$, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

usloviia-nezavisimosti-krivolineinogo-integrala-ot-puti-integrirovaniia-0

Доказательство

Необходимость . Пусть $C=\mathop {AEBFA}\limits^\cup $ - произвольный замкнутый контур, лежащий в области $G$, $\mathbf{\textit{A}}$ и $\mathbf{\textit{B}}$ - произвольные точки этого контура.

Так как, по условию, $\int\limits_{\mathop {AEB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} =\int\limits_{\mathop {AFB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} $, то $\int\limits_{\mathop {AEB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} = -\int\limits_{\mathop {BFA}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} \Rightarrow \int\limits_{\mathop {AEB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} +\int\limits_{\mathop {BFA}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} =0\Rightarrow \oint\limits_С {Pdx+Qdy} =0$.

Достаточность . Пусть для любого контура $C\subset G$ выполняется $\oint\limits_C {Pdx+Qdy} =0$. Пусть $\forall A\in G$, $\forall B\in G$ - произвольные точки, $\mathop {AEB}\limits^\cup $ и $\mathop {AFB}\limits^\cup $ - две различных кривых, соединяющих эти точки. $\mathop {AEBFA}\limits^\cup $ - замкнутый контур, поэтому $\oint\limits_{\mathop {AEBFA}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} =0\Rightarrow \oint\limits_{\mathop {AEB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} + \quad +\oint\limits_{\mathop {BFA}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} =0\Rightarrow \quad \oint\limits_{\mathop {AEB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} -\oint\limits_{\mathop {AFB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} =0\Rightarrow \\ \int\limits_{\mathop {AEB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} =\int\limits_{\mathop {AFB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} $,

что и требовалось доказать.

Теорема 2

Для того, чтобы интеграл $\oint\limits_C {Pdx+Qdy} $ по любому контуру $\mathbf{\textit{C}}$ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции $P, Q$ и их частные производные были непрерывны, и выполнялось условие $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$.

Доказательство

Необходимость . От противного. Пусть для $\forall C\subset G$ выполняется $\oint\limits_C {Pdx+Qdy} =0$, но существует точка $M_0 \in G$ такая, что $\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)(M_0 )\ne 0$.

Предположим для определённости, что $\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)(M_0 )=s>0$. Так как разность $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ непрерывна, существует окрестность точки $M_0 $ такая, что $\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)>s/2$.

Выберем контур $\mathbf{\textit{C}}$, целиком лежащий в этой окрестности. Если $\mathbf{\textit{D}}$ - область ограниченная этим контуром, то, по формуле Грина, $\oint\limits_С {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $.

Но, по теореме об интегрировании неравенств, $\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}>\frac{s}{2}\cdot S(D)>0$ {$S(D)$ - площадь области $\mathbf{\textit{D}}$}, т.е. $\oint\limits_C {Pdx+Qdy} >0$, что противоречит условиям теоремы. Следовательно, в любой точке $M_0 \in G$ выполняется условие $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$.

Достаточность . Если в любой точке $M_0 \in G$ выполняется условие $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$, то для любого контура $\mathbf{\textit{C}}$

$\oint\limits_C {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} =0$ {$\mathbf{\textit{D}}$ - область ограниченная контуром $\mathbf{\textit{C}}$}.

Таким образом, для того, чтобы криволинейный интеграл $\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {Pdx+Qdy} $ не зависел от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки {или, что то же самое, интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю}, требуется выполнение двух условий:

  1. Контур и ограниченная им область лежат в некоторой односвязной области, в которой
  2. $P, Q$ и их частные производные непрерывны и $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$.

Отметим существенность первого условия. Так, для интеграла $\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}} $ второе условие выполняется: $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{x^2-y^2}{\left( {x^2+y^2} \right)^2}$, в то же время интеграл по окружности радиуса $\mathbf{\textit{R}}$ не равен нулю: $\int\limits_{x^2+y^2=R^2} {\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}} =\left| {\begin{array}{l} x=R\cos t,\;y=R\sin t \\ \quad 0\leqslant t\leqslant 2\pi \\ \end{array}} \right|=-\int\limits_0^{2\pi } {\left( {\sin ^2t+\cos ^2t} \right)dt=-} 2\pi $

Причина - функции $\mathbf{\textit{P}}$ и$\mathbf{\textit{ Q}}$ непрерывны всюду, кроме начала координат; удаление точки из плоскости лишает её свойства односвязности.