Свойства криволинейного интеграла второго рода

Для этого интеграла существенны следующие свойства:

1) Линейность

а) свойство суперпозиции $\int\limits_L {((\vec {a}_1 +\vec {a}_2 ),\,\overrightarrow {dr} )=\int\limits_L {(\vec {a}_1 ,\,\overrightarrow {dr)} } +\int\limits_L {(\vec {a}_2 ,\,\overrightarrow {dr)} } } $

б) свойство однородности $\int\limits_L {\lambda \,\left( {\vec {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} =\lambda \int\limits_L {\left( {\vec {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} $.

Доказательство

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат. \newline

2) Аддитивность

Если $L=L_1 \cup L_2 \mathbf{, }$ то $\int\limits_L {\left( {\bar {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} \mathbf{=}\int\limits_{L_1 } {\left( {\bar {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} \mathbf{+}\int\limits_{L_2 } {\left( {\bar {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} \mathbf{.}$

Доказательство

Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L$_{1}$, так и элементы L$_{2}$. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3) Ориентируемость

$ \int\limits_L {\left( {\bar {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} = - \int\limits_{-L} {\left( {\bar {a},\,\overrightarrow {dr} } \right)} $

Доказательство

Интеграл по дуге $-L$, т.е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо $\overrightarrow {\Delta r_i } $ стоит $-\overrightarrow {\Delta r_i }$. Вынося "минус" из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.

Заметим, что свойство ориентируемости в криволинейном интеграле первого рода отсутствует. Зато в криволинейном интеграле второго рода отсутствуют свойства интегрирования неравенств, теорема об оценке и теорема о среднем, которые есть в криволинейном интеграле первого рода.