Свойства криволинейного интеграла второго рода

Для этого интеграла существенны следующие свойства:

1) Линейность

а) свойство суперпозиции $\int\limits_L { ((\vec { a } _1 +\vec { a } _2 ),\,\overrightarrow { dr } )=\int\limits_L { (\vec { a } _1 ,\,\overrightarrow { dr) } } +\int\limits_L { (\vec { a } _2 ,\,\overrightarrow { dr) } } } $

б) свойство однородности $\int\limits_L { \lambda \,\left( { \vec { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } =\lambda \int\limits_L { \left( { \vec { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } $.

Доказательство

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат. \newline

2) Аддитивность

Если $L=L_1 \cup L_2 \mathbf { , } $ то $\int\limits_L { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { = } \int\limits_ { L_1 } { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { + } \int\limits_ { L_2 } { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { . } $

Доказательство

Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L$_ { 1 } $, так и элементы L$_ { 2 } $. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3) Ориентируемость

$ \int\limits_L { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } = - \int\limits_ { -L } { \left( { \bar { a } ,\,\overrightarrow { dr } }\right) } $

Доказательство

Интеграл по дуге $-L$, т.е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо $\overrightarrow { \Delta r_i } $ стоит $-\overrightarrow { \Delta r_i } $. Вынося "минус" из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.

Заметим, что свойство ориентируемости в криволинейном интеграле первого рода отсутствует. Зато в криволинейном интеграле второго рода отсутствуют свойства интегрирования неравенств, теорема об оценке и теорема о среднем, которые есть в криволинейном интеграле первого рода.

Далее:

Критерий полноты {формулировка}. Лемма о несамодвойственной функции

Логические следствия

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Определение криволинейного интеграла второго рода

Дифференциальные характеристики векторного поля

Специальные векторные поля

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Вычисление площадей плоских областей

Огравление $\Rightarrow $