Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть в пространстве $\mathbf{\textit{Oxyz}}$ дана кусочно-гладкая кривая $L=\mathop {AB}\limits^\cup $, на которой определена функция $\mathbf{\textit{P}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}}$, $\mathbf{\textit{z}})$.

opredelenie-krivolineinogo-integrala-vtorogo-roda-0

Разобьём кривую точками $\mathbf{\textit{A}}_{0}(\mathbf{\textit{x}}_{0}, \mathbf{\textit{y}}_{0}, \mathbf{\textit{z}}_{0})=\mathbf{\textit{A}}, \mathbf{\textit{A}}_{1}(\mathbf{\textit{x}}_{1}, \mathbf{\textit{y}}_{1}, \mathbf{\textit{z}}_{1}), \mathbf{\textit{A}}_{2}(\mathbf{\textit{x}}_{2}, \mathbf{\textit{y}}_{2}, \mathbf{\textit{z}}_{2}), {\ldots}, \mathbf{\textit{A}}_{i}(\mathbf{\textit{x}}_{i} \quad \mathbf{\textit{y}}_{i}, \mathbf{\textit{z}}_{i}), {\ldots}, \mathbf{\textit{A}}_{n}(\mathbf{\textit{x}}_{n} \quad \mathbf{\textit{y}}_{n}, \mathbf{\textit{z}}_{n})=\mathbf{\textit{B}}$ на $\mathbf{\textit{n}}$ частей, на каждой из дуг $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup $ выберем произвольную точку $\mathbf{\textit{M}}_{i}(\mathbf{\textit{x}}_{i} \quad \mathbf{\textit{y}}_{i}$, $\mathbf{\textit{z}}_{i})$, найдём $\mathbf{\textit{P}}(\mathbf{\textit{M}}_{i})=\mathbf{\textit{P}}_{i}(\mathbf{\textit{x}}_{i} \quad \mathbf{\textit{y}}_{i}$, $\mathbf{\textit{z}}_{i})$ и проекцию $\Delta x_i =x_i -x_{i-1} $ дуги $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup $ на ось $\mathbf{\textit{Ох}}$ и составим интегральную сумму $\sum\limits_{i=1}^n {P(M_i )\cdot \Delta x_i } $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots n} \Delta l_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup (\mathbf{\textit{i}} = 1, 2, {\ldots}, \mathbf{\textit{n}})$, ни от выбора точек $\mathbf{\textit{M}}_{i}$, то функция $\mathbf{\textit{Р}}(\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}},\mathbf{\textit{z}})$ называется интегрируемой по кривой $\mathbf{\textit{L}}$, а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате $\mathbf{\textit{х}}$ от функции $\mathbf{\textit{Р}}(\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}},\mathbf{\textit{z}})$ по кривой $\mathbf{\textit{L}}$ и обозначается $\int\limits_L {P(M)\cdot dx} $ {или $\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {P(M)\cdot dx} $}.

Теорема существования

Если функция $\mathbf{\textit{Р}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ непрерывна на кривой $\mathbf{\textit{L}}$, то она интегрируема по этой кривой.

Если на кривой $\mathbf{\textit{L}}$, вместе с функцией $\mathbf{\textit{Р}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$, заданы функции $\mathbf{\textit{Q}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ и $\mathbf{\textit{R}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$, то, аналогично интегралу $\int\limits_L {P(M)\cdot dx} $, определяются интегралы $\int\limits_L {Q(M)\cdot dy} $ и$\int\limits_L {R(M)\cdot dz} $.

В приложениях рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается $\int\limits_L {P(M)\cdot dx+Q(M)\cdot dy+R(M)\cdot dz} $ и также называется криволинейным интегралом второго рода. Если кривая, по которой ведётся интегрирование, является контуром {т.е. замкнута}, то, как и для криволинейного интеграла по длине дуги, в качестве начальной {и совпадающей с ней конечной} точки можно взять любую точку кривой.