Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Масса

$\mathbf{\textit{m}}$ материальной кривой $\mathop {AB}\limits^\cup $ с плотностью $\mu (\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ вычисляется по формуле $m=\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {\mu (x,y,z)d\ell } $.

Пример 1

Найти массу четверти лемнискаты $r^2=a^2\cos 2\varphi $, если плотность выражается формулой $\mu (\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}})=k\sqrt {x^2+y^2} =kr$.

Решение:

$r=a\sqrt {\cos 2\varphi }$, ${r}'=-a\frac{\sin 2\varphi }{\sqrt {\cos 2\varphi } }$ , поэтому

$m=\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {krd\ell } = k\int\limits_0^{\pi / 4}{a\sqrt {\cos 2\varphi } }\cdot \sqrt {a^2\cos 2\varphi +\frac{a^2\sin ^22\varphi }{\cos 2\varphi }} d\varphi = \frac{1}{4}\pi ka^2$

Статические моменты и координаты центра масс

Пусть плоская материальная кривая $\mathop {AB}\limits^\cup $ имеет плотность $\mu (\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}})$.

Статический момент относительно оси $\mathbf{\textit{Ox}}$ определяется по формуле $M_x =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {y\mu (x,y)d\ell } $, относительно оси Oy: $M_y =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {x\mu (x,y)d\ell } $.

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам $ M_{xy} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {z\mu d\ell } , \quad M_{xz} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {y\mu d\ell } , \quad M_{yz} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {x\mu d\ell } $

Координаты центра масс могут быть найдены по формулам

$x_c =\frac{M_{y} }{m},\quad \;y_c =\frac{M_{x} }{m}\quad $ - для плоской кривой;

$x_c =\frac{M_{yz} }{m},\quad \;y_c =\frac{M_{xz} }{m},\quad \;z_c =\frac{M_{xy} }{m}\quad -$ для пространственной кривой, где $\mathbf{\textit{m}}$ - масса кривой.

Пример 1

Найти центр масс четверти однородной окружности $x^2+y^2=a^2,x\geqslant 0,y\geqslant 0$

Решение:

Можно считать, что $\mu =1$. Тогда масса кривой равна ее длине $m=\frac{2\pi a}{4}=\frac{\pi a}{2}$. Статический момент $M_x $ равен $ M_x =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {yd\ell } =\int\limits_0^a {\sqrt {a^2-x^2} \cdot \sqrt {1+\frac{x^2}{a^2-x^2}} dx} =a^2. $ Из соображений симметрии $M_y =M_x $, поэтому координаты центра масс равны $ x_c =\frac{M_y }{m}=\frac{2a}{\pi },\quad \;y_c =\frac{M_x }{m}=\frac{2a}{\pi }. $

Моменты инерции

Моменты инерции плоской кривой $\mathop {AB}\limits^\cup $с плотностью $\mu $ относительно координатных осей вычисляются по формулам $ I_{Ox} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {y^2\mu d\ell } , \quad I_{Oy} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {x^2\mu d\ell } ; $ моменты инерции относительно начала координат $ I_0 =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {(x^2+y^2)\mu d\ell } =I_x +I_y $ В случае пространственной кривой моменты инерции относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам $ I_{Ox} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {(y^2+z^2)\mu d\ell } , \quad I_{Oy} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {(x^2+z^2)\mu d\ell } , \quad I_{Oz} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {(x^2+y^2)\mu d\ell } , \quad I_0 =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {(x^2+y^2+z^2)\mu d\ell =\frac{I_{Ox} +I_{Oy} +I_{Oz} }{2}} . $

Пример 1

Найти момент инерции относительно оси $\mathbf{\textit{Oz }}$ однородной винтовой линии $\mu =1\mathbf{\textit{x}}=\mathbf{\textit{a}}cos \mathbf{\textit{t}}, \mathbf{\textit{y}}=\mathbf{\textit{a}}sin \mathbf{\textit{t}}, \mathbf{\textit{z}}=\mathbf{\textit{at}}; 0 \leqslant \mathbf{\textit{t}} \leqslant 2\pi $

Решение:

$I_{Oz} =\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {(x^2+y^2)\mu d\ell } =\int\limits_0^{2\pi } {(a^2\cos ^2t+a^2\sin ^2t)\sqrt {a^2+a^2\sin ^2t+a^2\cos ^2t} dt=a^3\sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {dt=2\sqrt 2 \pi a^3} } $.