Криволинейный интеграл первого рода {по длине дуги}

Определение криволинейного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf{\textit{x,y,z}}\mathbf{ }$ задана кусочно-гладкая кривая $L=\mathop {AB}\limits^\cup $, на которой определена функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}},\mathbf{\textit{z}}).\mathbf{ }$

Разобьём кривую точками $A_0 =A,\;A_1 ,\;A_2 ,\ldots ,A_n =B$ на $n$ частей, на каждой из дуг $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup $ выберем произвольную точку $M_i (x_i ,y_i ,z_i )$, найдём $f(M_i )=f(x_i ,y_i ,z_i )$ и длину $\Delta l_i $ дуги $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup $, и составим интегральную сумму $\sum\limits_{i=1}^n {f(M_i )\cdot \Delta l_i } $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots n} \Delta l_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup \;(i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M_i $, то функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ называется интегрируемой по кривой $L$, а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ по кривой $L$, и обозначается

$\int\limits_L {f(M)\cdot dl} $ или $\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {f(M)\cdot dl} $.

Теорема существования

Если функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$,$\mathbf{\textit{y}}$,$\mathbf{\textit{z}})$ непрерывна на кусочно-гладкой кривой $L$, то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой

krivolineinyi-integral-pervogo-roda-{po-dline-dugi}-0

В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой $\mathbf{\textit{С}}$. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: $\oint\limits_С {f(M)\cdot dl} $.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1}. Линейность

а} свойство суперпозиции $\int\limits_L {(f(x,\,y,\,z)+g(x,\,y,\,z))dl=\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} +\int\limits_L {g(x,\,y,\,z)dl} } $

б} свойство однородности $\int\limits_L {\lambda \,f(x,\,y,\,z)dl} =\lambda \int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} $.

Доказательство:

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2}. Аддитивность

Если $L=L_1 \cup L_2 \mathbf{, }$ то $\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} \mathbf{=}\int\limits_{L_1 } {f(x,\,y,\,z)dl} +\int\limits_{L_3 } {f(x,\,y,\,z)dl} $

Доказательство:

Выберем разбиение области $L$ так, чтобы ни один из элементов разбиения {первоначально и при измельчении разбиения} не содержал одновременно как элементы $L_{1}$, так и элементы $L_{2}$. Это можно сделать по теореме существования {замечание к теореме}. Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3}. $\int\limits_L {dl} =L$. Здесь $L$ - длина дуги $L$.

4}. Если на дуге $L$ выполнено неравенство $f(x,y,\,z)\geqslant g(x,y,\,z)$, то

$\mathbf{ }\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl\geqslant \int\limits_L {g(x,\,y,\,z)dl} } $

Доказательство:

Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно $g(x,y,\,z)\equiv 0$

5}. Теорема об оценке

Если существуют константы $m,M$, что $\forall \left( {x,y,\,z} \right)\in L\quad m\leqslant f(x,{\kern 1pt}y,\,z)\leqslant M$, то $ mL\leqslant \int\limits_L {f(x,\,y,\,z)\leqslant ML} $

Доказательство:

Интегрируя неравенство $m\leqslant f(x,{\kern 1pt}y,\,z)\leqslant M$ {свойство 4}, получим

$\int\limits_L {mdl} \leqslant \int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} \leqslant \int\limits_L {Mdl} $.

По свойству 1 константы $m,M$ можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6}. Теорема о среднем {значении интеграла}

Существует точка $c(x_c ,y_c ,\,z_c )\in L$, что $f(c)=\frac{1}{L}\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} $

Доказательство:

Так как функция $f(x,y,\,z)$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $L$, то существует ее нижняя грань $\mu =\inf _L f(x,y,\,z)$ и верхняя грань ${\rm M}=\sup _L f(x,y,\,z)$.

Выполнено неравенство $\forall \left( {x,y,\,z} \right)\in L\quad \mu \,L\leqslant \int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} \leqslant ML$.

Разделив обе части на $L$, получим $\quad \mu \leqslant \frac{1}{L}\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} \leqslant M$.

Но число $\quad \frac{1}{L}\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} $ заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция $f(x,y,\,z)$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $L$, то в некоторой точке $с\in L$ функция должна принимать это значение.

Следовательно, $f(c)=\frac{1}{L}\int\limits_L {f(x,\,y,\,z)dl} $.

Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:

Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой:

$\int\limits_{\mathop {AB}\limits^\cup } {f(M)\cdot dl} =\int\limits_{\mathop {BA}\limits^\cup } {f(M)\cdot dl} $.

Доказательство:

Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек $M_i $ совпадают {всегда длина дуги $\mathop {A_{i-1} A_i }\limits^\cup \quad \Delta l_i \geqslant 0$}, поэтому равны их пределы при $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots n} \Delta l_i \to 0$.