Формула Грина

Связность, односвязность, многосвязность

Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

Множество точек {на прямой, на плоскости, в пространстве} называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область {на плоскости, в пространстве} называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

Примеры:

Односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.

Теорема Грина для односвязной области

Пусть на плоскости $\mathbf{\textit{Oxy}}$ задана односвязная область$\mathbf{\textit{ D}}$, ограниченная кусочно-гладким контуром $\mathbf{\textit{C}}$. На множестве $\bar {D}=D\cup C$ определены непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, имеющие непрерывные частные производные.

Тогда $\oint\limits_С {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $, при этом контур$\mathbf{\textit{C}}$ обходится так, что область $\mathbf{\textit{D}}$ остаётся слева.

Доказательство

formula-grina-0

formula-grina-1

1). Пусть $\mathbf{\textit{D}}$ - простая область. Докажем сначала, что $\oint\limits_C {P(x,y)dy} =-\iint\limits_D {\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}$.

$y=\varphi _2 (x)y=\varphi _1 (x)$

Опишем $\mathbf{\textit{D}}$ неравенствами $D:\left( {\begin{array}{l} a\leqslant x\leqslant b, \\ \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x). \\ \end{array}} \right.$

Тогда $-\iint\limits_D {\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}=-\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _x (x)} {\frac{\partial P}{\partial y}dy} } =-\int\limits_a^b {\left. {P(x,y)} \right|_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} dx} =-\int\limits_a^b {P(x,\varphi _2 (x))dx} - +\int\limits_a^b {P(x,\varphi _1 (x))dx} = \\ =\int\limits_a^b {P(x,\varphi _1 (x))dx} -\int\limits_b^a {P(x,\varphi _2 (x))dx} =\int\limits_{\mathop {ABE}\limits^\cup } {P(x,y)dx} + \int\limits_{\mathop {FGA}\limits^\cup } {P(x,y)dx} $.

Если контур включает вертикальные участки, такие как $\mathbf{\textit{EF}}$, то на этих участках $\mathbf{\textit{dx}}= 0$, поэтому $\int\limits_{\mathop {EF}\limits^\cup } {P(x,y)dx} =0$, и $y=\psi _2 (y)y=\psi _1 (y)-\iint\limits_D {\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}=\int\limits_{\mathop {ABE}\limits^\cup } {P(x,y)dx} +\int\limits_{\mathop {EF}\limits^\cup } {P(x,y)dx} +\int\limits_{\mathop {FGA}\limits^\cup } {P(x,y)dx} =\oint\limits_C {P(x,y)dx} $, что и требовалось доказать.

Равенство $\oint\limits_C {Q(x,y)dy} =\iint\limits_D {\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy}$ доказывается точно также:

$\iint\limits_D {\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy}=\int\limits_c^d {dy\int\limits_{\psi _1 (y)}^{\psi _2 (y)} {\frac{\partial Q}{\partial x}dx} } =\int\limits_c^d {\left. {Q(x,y)} \right|_{\psi _1 (y)}^{\psi _2 (y)} dy} = \int\limits_c^d {Q(\psi _2 (y),y)dy} -\int\limits_c^d {Q(\psi _1 (y),y)dy} = \\ = \int\limits_{\mathop {BEFG}\limits^\cup } {Q(x,y)dy} + \int\limits_{\mathop {GAC}\limits^\cup } {Q(x,y)dy} =\oint\limits_C {Q(x,y)dy} $.

Суммируя равенства $\oint\limits_C {P(x,y)dy} =-\iint\limits_D {\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}$ и $\oint\limits_C {Q(x,y)dy} =\iint\limits_D {\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy}$, получим одну из важнейших формул анализа - формулу Грина $ \oint\limits_С {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $

2). Пусть теперь $\mathbf{\textit{D}}$ - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком $\mathbf{\textit{АВ}}$ и пусть подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{2}$ - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

formula-grina-2

$\oint\limits_{ABFA} {Pdx+Qdy=\iint\limits_{D_1 } {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $ и $\oint\limits_{AEBA} {Pdx+Qdy=\iint\limits_{D_2 } {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $.

По свойству аддитивности $\oint\limits_{ABFA} {Pdx+Qdy} =\oint\limits_{AB} {Pdx+Qdy} +\oint\limits_{BFA} {Pdx+Qdy} $, $\oint\limits_{AEBA} {Pdx+Qdy} =\oint\limits_{AEB} {Pdx+Qdy} +\oint\limits_{BA} {Pdx+Qdy} = \oint\limits_{AEB} {Pdx+Qdy} -\oint\limits_{AB} {Pdx+Qdy} $

Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам $\mathbf{\textit{АВ}}$ и $\mathbf{\textit{ВА}}$ взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым $\mathbf{\textit{BFA}}$ и $\mathbf{\textit{AEB}}$ даёт интеграл по контуру $\mathbf{\textit{C}}$, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой.

Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

Теорема Грина для многосвязной области

Пусть теперь $\mathbf{\textit{D}}$ многосвязная на плоскости $\mathbf{\textit{Oxy}}$. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек.

formula-grina-3

Рассмотрим случай, когда граница области $\mathbf{\textit{D}}$ {на рисунке область заштрихована} состоит из внешнего контура $\mathbf{\textit{C}}$ и внутренних контуров $\mathbf{\textit{C}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{C}}_{2}$.

Соединим контур $\mathbf{\textit{C}}$разрезом $\mathbf{\textit{FM}}$ с контуром $\mathbf{\textit{C}}_{1}$, разрезом $\mathbf{\textit{BG}}$ - с контуром $\mathbf{\textit{C}}_{2}$. {Под словами "соединим разрезом $\mathbf{\textit{BG}}$ " подразумевается то, что мы удалим из $\mathbf{\textit{D}}$ отрезок $\mathbf{\textit{BG}})$.

Область ${D}'=D\backslash (BG\cup FM)$ с границей ${\Gamma }'=\mathop {AB}\limits^\cup \cup BG\cup (C_2 =\mathop {GLKG}\limits^\cup )\cup GB\cup \mathop {BF}\limits^\cup \cup FM\cup C_1 \cup MF\cup \mathop {MA}\limits^\cup $ односвязна, поэтому для неё справедлива формула Грина:

$\oint\limits_{{\Gamma }'} {Pdx+Qdy=\iint\limits_{{D}'} {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}}$

Двойные интегралы по областям $\mathbf{\textit{D}}$ и ${D}'\mathbf{ }$ равны {площадь разрезов равна нулю}; в криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой ${\Gamma }'$ интегралы по разрезам входят с противоположными знаками {$\int\limits_{BG} {Pdx} +Qdy$ и $\int\limits_{GB} {Pdx} +Qdy$, например} и поэтому взаимно уничтожаются, поэтому оказывается справедлива теорема Грина для многосвязной области :

пусть на плоскости $\mathbf{\textit{Oxy}}$ дана многосвязная область$\mathbf{\textit{ D }}$ с границей $\Gamma $. На множестве $\bar {D}=D\cup \Gamma $ определены непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, имеющие непрерывные частные производные. Тогда $\oint\limits_\Gamma {P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D {\left( {\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}} \right)dxdy}} $, при этом каждая часть полной границы $\Gamma $ обходится так, что область $\mathbf{\textit{D}}$ остаётся слева.