Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Теорема о замене переменных в двойном интеграле

Пусть на плоскости $\mathbf{\textit{Ouv}}$ задана область $\mathbf{\textit{G}}$, и пусть отображение $\mathbf{\textit{F}}(\mathbf{\textit{M}})=\mathbf{\textit{M}}$* преобразует эту область в область $\mathbf{\textit{D}}$ на плоскости $\mathbf{\textit{Oxy}}. $ Будем считать, что отображение $\mathbf{\textit{F}}$ задаётся функциями

$F:\left[ \begin{array}{l} x=x(u,v) \newline y=y(u,v) \newline \end{array} \right].$

Пусть:

  1. $\mathbf{\textit{F}}$ взаимно однозначно отображает $\mathbf{\textit{G}}$ на $\mathbf{\textit{D}}$;
  2. функции $\mathbf{\textit{x}}(\mathbf{\textit{u,v}})\mathbf{\textit{, y}}(\mathbf{\textit{u,v}})$ непрерывно дифференцируемы на $\mathbf{\textit{G}}$ {имеют непрерывные частные производные};
  3. якобиан $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left| {\begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u}\quad \frac{\partial y}{\partial u} \newline \frac{\partial x}{\partial v}\quad \frac{\partial y}{\partial v} \newline \end{array}} \right|$ не обращается в нуль на $\mathbf{\textit{G}}.$

    $ {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v } \right)}} } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial x}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial x}}{{\partial v }}} \\ {\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial y}}{{\partial v }}} \end{array}} \right| } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \left( {u\cos v } \right)}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial \left( {u\cos v } \right)}}{{\partial v }}}\\ {\frac{{\partial \left( {u\sin v } \right)}}{{\partial u}}}&{\frac{{\partial \left( {u\sin v } \right)}}{{\partial v }}} \end{array}} \right| } = {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos v }&{ - u\sin v }\\ {\sin v }&{u\cos v } \end{array}} \right| } = {\cos v \cdot u\cos v - \left( { - u\sin v } \right) \cdot \sin v } = {u\,{\cos ^2}v + u\,{\sin ^2}v } = \\ = {u\left( {{{\cos }^2}v + {{\sin }^2}v } \right) = u.}$

    Докажем, что в этих предположениях $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy=\iint\limits_G {f(x(u,v),y(u,v))\cdot \left| {J(u,v)} \right|\cdot dudv}}$.

zamena-peremennykh-v-dvoinom-integrale-0

Док-во:

Рассмотрим, как связаны между собой площадь параллелограмма $\mathbf{\textit{АВСЕ}}$ со сторонами $\Delta u,\Delta v $в области $\mathbf{\textit{G}}$ и площадь его образа при преобразовании $\mathbf{\textit{F}}\textbf{ - }$криволинейного параллелограмма $\mathbf{\textit{A}}_{1}\mathbf{\textit{B}}_{1}\mathbf{\textit{C}}_{1}\mathbf{\textit{E}}_{1}$ в области $\mathbf{\textit{D}}.$ С точностью до бесконечно малых высших порядков по сравнению с $\Delta u,\Delta v$, площадь криволинейного параллелограмма $\mathbf{\textit{A}}_{1}\mathbf{\textit{B}}_{1}\mathbf{\textit{C}}_{1}\mathbf{\textit{E}}_{1}$ равна площади обычного параллелограмма, построенного на векторах $\overline {A_1 B_1 } $ и $\overline {A_1 C_1 } $. Пусть точка $А$ имеет координаты $\mathbf{\textit{u,v}}$, тогда точка $\mathbf{\textit{А}}_{1}$ будет иметь координаты $\mathbf{\textit{x}}(\mathbf{\textit{u,v}}),\mathbf{\textit{y}}(\mathbf{\textit{u,v}}))$, т.е. $A(u,v)\to A_1 (x(u,v),y(u,v))$. Для других точек: $B(u+\Delta u,v)\to B_1 (x(u+\Delta u,v),y(u+\Delta u,v))= \quad B_1 (x(u,v)+\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)\Delta u+\alpha _1 (\Delta u)\Delta u,y(u,v)+\frac{\partial y}{\partial u}(u,v)\Delta u+\alpha _2 (\Delta u)\Delta u)$ {по формуле приращения дифференцируемой функции}. Аналогично $C(u,v+\Delta v)\to C_1 (x(u,v+\Delta v),y(u,v+\Delta v))=$

$C_1 (x(u,v)+\frac{\partial x}{\partial v}(u,v)\Delta v+\alpha _3 (\Delta v)\Delta v,y(u,v)+\frac{\partial y}{\partial v}(u,v)\Delta v+\alpha _4 (\Delta v)\Delta v),$ где $\alpha _i \to 0\;(i=1,2,3,4)$ при $\Delta u,\Delta v\to 0$.

Пренебрежём членами порядка малости выше первого по сравнению с $\Delta u,\Delta v$. Тогда $ \overline {AB} [\Delta u,0]\to \overline {A_1 B_1 } \left[ {\frac{\partial x}{\partial u}(u,v),\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) \left. {\begin{array}{l} \newline \newline
\end{array}} \right] ;} \right.\overline {AC} [0,\Delta v]\to \overline {A_1 C_1 } \left[ {\frac{\partial x}{\partial v}(u,v),\frac{\partial y}{\partial v}(u,v)\left. {\begin{array}{l} \newline
\newline
\end{array}} \right] } \right. $

Пусть теперь $\textbf{i,j,k}$ - базисные орты пространства, в котором лежит плоскость $\mathbf{\textit{Oxy}}$. Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах $\overline {A_1 B_1 } $ и $\overline {A_1 C_1 } $, равна модулю векторного произведения этих векторов {проекции на орт $\textbf{k }$равны нулю}: $$ S_{A_1 B_1 C_1 E_1 } =\left| {\left[ {\overline {A_1 B_1 } \ast \overline {A_1 C_1 } } \right]} \right|=\left| {\left| {\begin{array}{l} {\rm {\bf i}}\quad \;\;\;\;\;\;{\rm {\bf j}}\quad \;\;\;\;{\rm {\bf k}} \newline
\frac{\partial x}{\partial u}\Delta u\;\;\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u\;\;0 \newline
\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v\;\;\frac{\partial y}{\partial v}\Delta v\;\;0 \newline
\end{array}} \right|} \right|=\left| {\rm {\bf k}} \right|\left| {\left| {\begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u}\Delta u\;\;\frac{\partial y}{\partial u}\Delta u \newline
\frac{\partial x}{\partial v}\Delta v\;\;\frac{\partial y}{\partial v}\Delta v \newline
\end{array}} \right|} \right|=\left| {\left| {\begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u}\;\;\frac{\partial y}{\partial u} \newline
\frac{\partial x}{\partial v}\;\;\frac{\partial y}{\partial v} \newline
\end{array}} \right|} \right|\left| {\Delta u\Delta v} \right|=\left| {J(u,v)} \right|S_{ABCE} . $$

Мы доказали замечательную вещь. Если вокруг точки $M\in G$ взять маленькую область, то после преобразования $\mathbf{\textit{F}}$ площадь этой области меняется в $\vert \quad \mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{M}}) \quad \vert $ раз.

  1. Перейдём к доказательству основной формулы. Разобьём $\mathbf{\textit{G}}$ прямыми, параллельными осям координат, на области $\mathbf{\textit{G}}_{1}$, $\mathbf{\textit{G}}_{2}, {\ldots}, \mathbf{\textit{G}}_{n}$. Образы этих линий дадут разбиение $\mathbf{\textit{D}}$ на области $\mathbf{\textit{D}}_{1}$, $\mathbf{\textit{D}}_{2}, {\ldots}, \mathbf{\textit{D}}_{n}$. Для этого разбиения составим интегральную cумму $\sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )S(D_i )=} \sum\limits_{i=1}^n {f(x(u_i ,v_i ),y(u_i ,v_i ))\left| J \right|S(G_i )} $. Устремим $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,...,n} diam(G_i )\to 0$; тогда и $\mathop {\max }\limits_{i=1,2,...,n} diam(D_i )\to 0$. И слева, и справа интегральные суммы записаны для непрерывных функций, следовательно,и слева, и справа существуют пределы - двойные интегралы, и они равны: $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy=\iint\limits_G {f(u,v)\cdot \left| {J(u,v)} \right|\cdot dudv}}$, что и требовалось доказать. zamena-peremennykh-v-dvoinom-integrale-1

    Двойной интеграл в полярных координатах

Нам придётся применять эту формулу, в основном, для перехода к полярным координатам. Роль переменных $\mathbf{\textit{u}}$ и $\mathbf{\textit{v}}$ будут играть $\mathbf{\textit{r}}$ и $\phi $. Как известно, $x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi $. Вычислим якобиан: $J=\left| {\left| {\begin{array}{l} \cos \varphi \quad \;\;\;\;\sin \varphi \newline -r\sin \varphi \;\;r\cos \varphi \newline \end{array}} \right|} \right|=\vert r\vert =r$, следовательно, $\iint\limits_{D(x,y)} {f(x,y)dxdy}=\iint\limits_{D(r,\phi )} {f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi }$. Двойной интеграл в координатах $\mathbf{\textit{r}},\phi $ вычисляется также как и в координатах $\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}}, $переходом к двухкратному, при этом внешний обычно берут по $\varphi $. Если область $\mathbf{\textit{D}}$ описывается как $D:\left[ {\begin{array}{l} \varphi _0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi _k \newline r_1 (\varphi )\leqslant r\leqslant r_2 (\varphi ) \newline \end{array}} \right]$, то $\iint\limits_{D(r,\varphi )} {f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi }=\int\limits_{\varphi _0 }^{\varphi _k } {d\varphi \int\limits_{r_1 (\varphi )}^{r_2 (\varphi )} {f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr} } $. Естественно, если $r_1 (\varphi ),r_2 (\varphi )$ - кусочные функции, то внешний интеграл разбивается на несколько слагаемых. Однозначно дать рецепт, когда имеет смысл переходить к полярным координатам, нельзя, это дело опыта. Можно пробовать перейти к $\mathbf{\textit{r}},\phi $, если либо $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}},\mathbf{\textit{y}})$, либо кривые, ограничивающие область интегрирования, либо и то, и другое вместе, зависят от комбинации $\mathbf{\textit{x }}^{2}+\mathbf{\textit{y }}^{2}=\mathbf{\textit{r}}^{ 2}$. zamena-peremennykh-v-dvoinom-integrale-2 Если $f(x,y)=f\left( {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}} \right)$ и/или область $\mathbf{\textit{D}}$ ограничивается эллипсом $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, полезны обобщённые полярные координаты $x=ar\cos \varphi ,y=br\sin \varphi $. Каков якобиан этого преобразования?