Вычисление площади поверхности

Пример 1

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, однозначно проектирующаяся в область $\mathbf{\textit{D}}$ на плоскости $\mathbf{\textit{Оху}}$. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $\sigma :\;z=f(x,y),\;(x,y)\in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

vychislenie-ploshchadi-poverkhnosti-0

$ s(\sigma )=\iint\limits_D {\sqrt {1+\left( {\frac{\partial f}{\partial x}} \right)^2+\left( {\frac{\partial f}{\partial y}} \right)^2} dxdy}. $

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $\mathbf{\textit{x}}^{2}+\mathbf{\textit{y}}^{2}$ = 2$\mathbf{\textit{ax}}$ из сферы $\mathbf{\textit{x}}^{2}+\mathbf{\textit{y}}^{2}+\mathbf{\textit{z}}^{2}$ = 4$\mathbf{\textit{a}}^{2}$ .

vychislenie-ploshchadi-poverkhnosti-1

Решение:

На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности $z=\sqrt {4a^2-x^2-y^2} ,$ вычисляем производные $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt {4a^2-x^2-y^2} }, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt {4a^2-x^2-y^2} },$ и $s(\sigma )=\iint\limits_D {\sqrt {1+\frac{x^2+y^2}{4a^2-x^2-y^2}dxdy} }=2a\iint\limits_D {\frac{dxdy}{\sqrt {4a^2-x^2-y^2} }}$.

Область $\mathbf{\textit{D}}$ - сдвинутый на $\mathbf{\textit{а}}$ единиц по оси $\mathbf{\textit{Ох}}$ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $\mathbf{\textit{Оху}}$ и $\mathbf{\textit{Охz}}$:

$s(\sigma )=4\cdot 2a\iint\limits_{D_{r,\varphi } } {\frac{rdrd\varphi }{\sqrt {4a^2-r^2} }}=8a\int\limits_0^{\pi /2} {d\varphi \int\limits_0^{2a\cos \varphi } {\left( {4a^2-r^2} \right)^{-1/2}rdr} } =-8a\int\limits_0^{\pi /2} {d\varphi \left. {\left( {4a^2-r^2} \right)^{1/2}} \right|_0^{2a\cos \varphi } } = \\ =8a\int\limits_0^{\pi /2} {\left[ {2a-2a\sqrt {1-\cos ^2\varphi } } \right]d\varphi } =16a^2\left. {\left( {\varphi +\cos \varphi } \right)} \right|_0^{\pi /2} =16a^2\left( {\pi /2-1} \right)$.

Пример 2

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ {{x^2} + {y^2} + {z^2} = {a^2}}\;\; {\text{или}\;\;z = \sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} .} $

vychislenie-ploshchadi-poverkhnosti-2

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле ${S_{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \iint\limits_R {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right)}^2}} dxdy} .$

Найдем частные производные. $ {\frac{{\partial z}}{{\partial x}} } = {\frac{\partial }{{\partial x}}\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} } = {\frac{{ - {2}x}}{{{2}\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} }} } = { - \frac{x}{z},} $ $ {\frac{{\partial z}}{{\partial y}} } = {\frac{\partial }{{\partial y}}\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} } = {\frac{{ - {2}y}}{{{2}\sqrt {{a^2} - {x^2} - {y^2}} }} } = { - \frac{y}{z}.} $

Подставляя найденные производные, получаем $ {{S_{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \iint\limits_R {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right)}^2}} dxdy} } = {\iint\limits_R {\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}}} dxdy} } = {\iint\limits_R {\sqrt {\frac{{{z^2} + {x^2} + {y^2}}}{{{z^2}}}} dxdy} } = {\iint\limits_R {\frac{a}{z}dxdy} .} $

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. $ {{S_{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \iint\limits_R {\frac{a}{z}dxdy} } = {\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^a {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {r^2}} }}rdrd\theta } } } = {a\int\limits_0^{2\pi } {d\theta } \int\limits_0^a {\frac{{rdr}}{{\sqrt {{a^2} - {r^2}} }}} } = { - 2\pi a\int\limits_0^a {\frac{{d\left( {{a^2} - {r^2}} \right)}}{{2\sqrt {{a^2} - {r^2}} }}} } = { - 2\pi a\left. {\left( {\sqrt {{a^2} - {r^2}} } \right)} \right|_{r = 0}^a } = { - 2\pi a\left( {0 - a} \right) = 2\pi {a^2}.} $

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2{S_{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = 4\pi {a^2}.$