Вычисление двойного интеграла. Двукратный { повторный } интеграл
Определение простой { правильной } области
Область $ \mathbf { \textit { D } } $ на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } $будем называть $\textbf { простой { правильной } в направлении оси } \quad \mathbf { \textit { Oy } } $, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } } $ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oy } } $, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } } $ в двух точках.
Аналогично определяется область, $\textbf { простая { правильная } в направлении оси } \mathbf { \textit { Ox } } $: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } } $ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } } $ в двух точках.
Область, правильную { простую } в направлении обеих осей, будем называть $\textbf { правильной } $.
$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ Ограниченную замкнутую область $\mathbf { \textit { D } } $, правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $, можно описать неравенствами
$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right].$
Числа $\mathbf { \textit { a } } $ и $\mathbf { \textit { b } } $ существуют вследствие ограниченности области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\varphi _1 (x)$ образована нижними точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { x } } _ { 0 } $ при $a<x_0 <b$ с границей области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\varphi _2 (x)$ - верхними точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } } $.
Аналогичным образом область $\mathbf { \textit { D } } $, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, можно описать неравенствами
$D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$
Функция $\psi _1 (y)$ образована левыми точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { y } } _ { 0 } $ при $c<y_0 <d$ с границей области $\mathbf { \textit { D } } $, функция $\psi _2 (y)$ - правыми точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } } $.
$x=\psi _2 (y) x=\psi _1 (y)$ Для правильной области { т.е. области, правильной в направлении обеих осей } существуют оба способа представления:
$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right]$ и $D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$
Двукратный { повторный } интеграл
Пусть $\mathbf { \textit { D } } $ - область, простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $. Рассмотрим выражение $J(D)=\int\limits_a^b { \left( { \int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } }\right)dx } $. Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по $\mathbf { \textit { у } } $ во внутреннем интеграле { переменная $\mathbf { \textit { х } } $ при этом рассматривается как постоянная } и подстановки по $\mathbf { \textit { у } } $ в пределах от $\varphi _1 (x)$ до $\varphi _2 (x)$ получается функция, зависящая только от $\mathbf { \textit { х } } $, которая интегрируется в пределах от $\mathbf { \textit { a } } $ до $\mathbf { \textit { b } } $. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:
$$ J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } . $$
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области $\mathbf { \textit { D } } $: $\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { dy } } =\int\limits_a^b { dx\cdot \left. y \right|_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } } =\int\limits_a^b { \left[ { \varphi _2 (x)-\varphi _1 (x) }\right]dx } =s(D)$;
$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область $\mathbf { \textit { D } } $ разбита на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $ прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области $\mathbf { \textit { D } } $ равен сумме интегралов по $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $: $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.
Первый случай:
прямая $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 1 } $ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oy } } $. Тогда $J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } $ { аддитивность внешнего интеграла } = $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.
$y=\varphi _2 (x) y=\varphi _2 (x)$
Второй случай:
прямая $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } _ { 1 } $ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oх } } $. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла: $J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } = y=\varphi _1 (x) =\int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ { теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом } $\textbf { = } \int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\left[ { \int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { с_1 } { f(x,y)dy } +\int\limits_ { с_1 } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } }\right] } +\int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } = $ { применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму } =$ =\int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { с_1 } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { с_1 } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ $ =\left [ { \int\limits_a^ { a_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { с_1 } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } + } \int\limits_ { b_1 } ^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } }\right ]+ \left [ { \int\limits_ { a_1 } ^ { b_1 } { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { с_1 } { f(x,y)dy } } }\right ] $
первая скобка даёт повторный интеграл по $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, вторая - по $_ { } \mathbf { \textit { D } } _ { 2 } =\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$.
Понятно, что возможны различные случаи взаимного расположения прямых $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } _ { 2 } $ и функций $y=\varphi _1 (x)$, $y=\varphi _2 (x)$, но логика доказательства во всех случаях такая же.
Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область $\mathbf { \textit { D } } $ на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } $. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $ на $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и$\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $; $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } $ - на $\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } $. По доказанному, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )$, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } )$, поэтому $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { 4 } )$. Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область $\mathbf { \textit { D } } $ с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { n } $, то $J(D)=J(D_1 )+J(D_2 )+\ldots +J(D_n )=\sum\limits_ { i=1 } ^n { J(D_i ) } $.
Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному
Пусть $\mathbf { \textit { D } } $ - простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } } $ область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области $\mathbf { \textit { D } } $ равен повторному интегралу от той же функции по области $\mathbf { \textit { D } } $: $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } $.
Док-во: Разобьём область $\mathbf { \textit { D } } $ с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $, { \ldots } , $\mathbf { \textit { D } } _ { n } $. По доказанному выше, $J(D)=\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\sum\limits_ { i=1 } ^n { J(D_i ) } $. К каждому из интегралов $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { i } )$ применим теорему о среднем: в любой области $\mathbf { \textit { D } } _ { i } $ найдётся точка $\mathbf { \textit { P } } _ { i } $ такая, что $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } _ { i } )=\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } _ { i } ) \quad \mathbf { \textit { s } } (\mathbf { \textit { D } } _ { i } )$. Следовательно, $J(D)=\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } $. В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $. Будем мельчить разбиение области так, чтобы $d=\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(D_i )\to 0$. Вследствие непрерывности функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } )$ по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $, т.е. в пределе получим $\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } $, что и требовалось доказать.
Если область $\mathbf { \textit { D } } $ правильная в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } } $, то аналогично доказывается формула $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits_с^d { dy\int\limits_ { \psi _1 (y) } ^ { \psi _2 (y) } { f(x,y)dx } } $. Если $\mathbf { \textit { D } } $ правильна в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую из эти формул: $\iint\limits_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits_a^b { dx\int\limits_ { \varphi _1 (x) } ^ { \varphi _2 (x) } { f(x,y)dy } } =\int\limits_с^d { dy\int\limits_ { \psi _1 (y) } ^ { \psi _2 (y) } { f(x,y)dx } } $.
Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.
Далее:
Вычисление площадей плоских областей
Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$
Решение задач с помощью алгебры высказываний
Теорема о предполных классах
Вычисление объёмов
Логические следствия
Теорема Стокса
Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла
Дифференциальные характеристики векторного поля
Частные случаи векторных полей
Поток жидкости через поверхность
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$
Поверхностный интеграл первого рода и его свойства
Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()