Вычисление двойного интеграла. Двукратный {повторный} интеграл

Определение простой {правильной} области

Область $ \mathbf{\textit{D}}$ на плоскости $\mathbf{\textit{Oxy }}$будем называть $\textbf{простой {правильной} в направлении оси} \quad \mathbf{\textit{Oy}}$, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf{\textit{D}}$ и параллельная оси $\mathbf{\textit{Oy}}$, пересекает границу $\mathbf{\textit{D}}$ в двух точках.

Аналогично определяется область, $\textbf{простая {правильная} в направлении оси }\mathbf{\textit{Ox}}$: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf{\textit{D}}$ и параллельная оси $\mathbf{\textit{Oх}}$, пересекает границу $\mathbf{\textit{D}}$ в двух точках.

Область, правильную {простую} в направлении обеих осей, будем называть $\textbf{правильной}$.

vychislenie-dvoinogo-integrala-0 vychislenie-dvoinogo-integrala-1

$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ Ограниченную замкнутую область $\mathbf{\textit{D}}$, правильную в направлении оси $\mathbf{\textit{Oy}}$, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array}{l} a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right].$

Числа $\mathbf{\textit{a}}$ и $\mathbf{\textit{b}}$ существуют вследствие ограниченности области $\mathbf{\textit{D}}$, функция $\varphi _1 (x)$ образована нижними точками пересечения прямой $\mathbf{\textit{x}}=\mathbf{\textit{x}}_{0}$ при $a<x_0 <b$ с границей области $\mathbf{\textit{D}}$, функция $\varphi _2 (x)$ - верхними точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf{\textit{D}}$.

Аналогичным образом область $\mathbf{\textit{D}}$, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси $\mathbf{\textit{Oх}}$, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array}{l} c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$

Функция $\psi _1 (y)$ образована левыми точками пересечения прямой $\mathbf{\textit{y}}=\mathbf{\textit{y}}_{0}$ при $c<y_0 <d$ с границей области $\mathbf{\textit{D}}$, функция $\psi _2 (y)$ - правыми точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf{\textit{D}}$.

$x=\psi _2 (y) x=\psi _1 (y)$ Для правильной области {т.е. области, правильной в направлении обеих осей} существуют оба способа представления:

$D:\left[ \begin{array}{l} a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi _1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi _2 (x) \newline \end{array} \right]$ и $D:\left[ \begin{array}{l} c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi _1 (y)\leqslant x\leqslant \psi _2 (y) \newline \end{array} \right].$

Двукратный {повторный} интеграл

Пусть $\mathbf{\textit{D}}$ - область, простая в направлении оси $\mathbf{\textit{Oy}}$. Рассмотрим выражение $J(D)=\int\limits_a^b {\left( {\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } \right)dx} $. Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по $\mathbf{\textit{у}}$ во внутреннем интеграле {переменная $\mathbf{\textit{х}}$ при этом рассматривается как постоянная} и подстановки по $\mathbf{\textit{у}}$ в пределах от $\varphi _1 (x)$ до $\varphi _2 (x)$ получается функция, зависящая только от $\mathbf{\textit{х}}$, которая интегрируется в пределах от $\mathbf{\textit{a}}$ до $\mathbf{\textit{b}}$. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

vychislenie-dvoinogo-integrala-2

$$ J(D)=\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } . $$

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области $\mathbf{\textit{D}}$: $\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {dy} } =\int\limits_a^b {dx\cdot \left. y \right|_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} } =\int\limits_a^b {\left[ {\varphi _2 (x)-\varphi _1 (x)} \right]dx} =s(D)$;

$y=\varphi _1 (x) y=\varphi _2 (x)$ теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область $\mathbf{\textit{D}}$ разбита на две подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{2}$ прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области $\mathbf{\textit{D}}$ равен сумме интегралов по $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{2}$: $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}})=\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{2})$.

Первый случай:

прямая $\mathbf{\textit{x}}=\mathbf{\textit{a}}_{1}$ параллельна оси $\mathbf{\textit{Oy}}$. Тогда $J(D)=\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } =\int\limits_a^{a_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{a_1 }^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } $ {аддитивность внешнего интеграла} = $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{2})$.

vychislenie-dvoinogo-integrala-3

$y=\varphi _2 (x) y=\varphi _2 (x)$

Второй случай:

прямая $\mathbf{\textit{y}}=\mathbf{\textit{c}}_{1}$ параллельна оси $\mathbf{\textit{Oх}}$. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла: $J(D)=\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } = y=\varphi _1 (x) =\int\limits_a^{a_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{a_1 }^{b_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{b_1 }^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } =$ {теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом}$\textbf{ = }\int\limits_a^{a_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{a_1 }^{b_1 } {dx\left[ {\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{с_1 } {f(x,y)dy} +\int\limits_{с_1 }^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } \right]} +\int\limits_{b_1 }^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } = ${применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму}=$ =\int\limits_a^{a_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{a_1 }^{b_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{с_1 } {f(x,y)dy} } +\int\limits_{a_1 }^{b_1 } {dx\int\limits_{с_1 }^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{b_1 }^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } =$ $ =\left [ {\int\limits_a^{a_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } +\int\limits_{a_1 }^{b_1 } {dx\int\limits_{с_1 }^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} +} \int\limits_{b_1 }^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } } \right ]+ \left [ {\int\limits_{a_1 }^{b_1 } {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{с_1 } {f(x,y)dy} } } \right ] $

vychislenie-dvoinogo-integrala-4

первая скобка даёт повторный интеграл по $\mathbf{\textit{D}}_{1}$, вторая - по $_{ }\mathbf{\textit{D}}_{2}=\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{2})$.

Понятно, что возможны различные случаи взаимного расположения прямых $\mathbf{\textit{y}}=\mathbf{\textit{c}}_{1}$, $\mathbf{\textit{x}}=\mathbf{\textit{a}}_{1}$, $\mathbf{\textit{x}}=\mathbf{\textit{a}}_{2}$ и функций $y=\varphi _1 (x)$, $y=\varphi _2 (x)$, но логика доказательства во всех случаях такая же.

vychislenie-dvoinogo-integrala-5

Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область $\mathbf{\textit{D}}$ на две подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{1,1}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{1,2}$. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает $\mathbf{\textit{D}}_{1,1}$ на $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ и$\mathbf{\textit{ D}}_{2}$; $\mathbf{\textit{D}}_{1,2}$ - на $\mathbf{\textit{D}}_{3}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{4}$. По доказанному, $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1,1})=\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{2})$, $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1,2})=\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{3})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{4})$, поэтому $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}})=\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1,1})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1,2})=\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{1})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{2})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{3})+\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{4})$. Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область $\mathbf{\textit{D}}$ с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{1}$, $\mathbf{\textit{D}}_{2}, {\ldots}, \mathbf{\textit{D}}_{n}$, то $J(D)=J(D_1 )+J(D_2 )+\ldots +J(D_n )=\sum\limits_{i=1}^n {J(D_i )} $.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному

Пусть $\mathbf{\textit{D}}$ - простая в направлении оси $\mathbf{\textit{Oy}}$ область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области $\mathbf{\textit{D}}$ равен повторному интегралу от той же функции по области $\mathbf{\textit{D}}$: $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}=\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } $.

Док-во: Разобьём область $\mathbf{\textit{D}}$ с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{1}$, $\mathbf{\textit{D}}_{2}$, {\ldots}, $\mathbf{\textit{D}}_{n}$. По доказанному выше, $J(D)=\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } =\sum\limits_{i=1}^n {J(D_i )} $. К каждому из интегралов $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{i})$ применим теорему о среднем: в любой области $\mathbf{\textit{D}}_{i}$ найдётся точка $\mathbf{\textit{P}}_{i}$ такая, что $\mathbf{\textit{J}}(\mathbf{\textit{D}}_{i})=\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}}_{i}) \quad \mathbf{\textit{s}}(\mathbf{\textit{D}}_{i})$. Следовательно, $J(D)=\sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )s(D_i )} $. В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$. Будем мельчить разбиение области так, чтобы $d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(D_i )\to 0$. Вследствие непрерывности функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$ по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$, т.е. в пределе получим $\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } =\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$, что и требовалось доказать.

Если область $\mathbf{\textit{D}}$ правильная в направлении оси $\mathbf{\textit{Oх}}$, то аналогично доказывается формула $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}=\int\limits_с^d {dy\int\limits_{\psi _1 (y)}^{\psi _2 (y)} {f(x,y)dx} } $. Если $\mathbf{\textit{D}}$ правильна в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую из эти формул: $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}=\int\limits_a^b {dx\int\limits_{\varphi _1 (x)}^{\varphi _2 (x)} {f(x,y)dy} } =\int\limits_с^d {dy\int\limits_{\psi _1 (y)}^{\psi _2 (y)} {f(x,y)dx} } $.

Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.