Свойства двойного интеграла

Постоянный множитель может быть вынесен за знак двойного интеграла

(\iint\limits_R {c\left( {x,y} \right)dA} = c\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dA},) где (c) - константа;

Линейность

Если функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$, $\mathbf{\textit{g}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$ интегрируемы по области $\mathbf{\textit{D}}$, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)$ тоже интегрируема по области $\mathbf{\textit{D}}$, и $\iint\limits_D {\left[ {\alpha f(P)+\beta g(P)} \right]ds=}\alpha \iint\limits_D {f(P)ds}+\beta \iint\limits_D {g(P)ds}$.

Док-во:

Для интегральных сумм справедливо равенство

$$\sum\limits_{i=1}^n {\left[ {\alpha f(P_i )+\beta g(P_i )} \right]s(D_i )} =\alpha \sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )s(D_i )} +\beta \sum\limits_{i=1}^n {g(P_i )s(D_i )} $$

Переходя к пределу при $d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(D_i )\to 0$ и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе Арифметические действия с пределами {здесь должна быть ссылка, но пока ее нет} , получим требуемое равенство.

Аддитивность

svoistva-dvoinogo-integrala-0

Если область $\mathbf{\textit{D}}$ является объединением двух областей $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{2}$, не имеющих общих внутренних точек, то $\iint\limits_D {f(P)ds}=\iint\limits_{D_1 } {f(P)ds}+\iint\limits_{D_2 } {f(P)ds}$.

Док-во:

Пусть область $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ разбита на подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{1,1}$, $\mathbf{\textit{D}}_{1,2}, {\ldots}, \mathbf{\textit{D}}_{1, n1}$; область $\mathbf{\textit{D}}_{2}$ разбита на подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{2,1}$, $\mathbf{\textit{D}}_{2,2}, {\ldots}, \mathbf{\textit{D}}_{2, n2}$. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области $\mathbf{\textit{D}}$: $D=\left( {\bigcup\limits_{i_1 =1}^{n_1 } {D_{1,i_1 } } } \right)\cup \left( {\bigcup\limits_{i_2 =1}^{n_2 } {D_{2,i_2 } } } \right)$ на $\mathbf{\textit{n}}_{1}+\mathbf{\textit{n}}_{2}$ подобластей. Интегральная сумма по области $\mathbf{\textit{D}}$ равна сумме сумм по областям $\mathbf{\textit{D}}_{1}$ и $\mathbf{\textit{D}}_{2}$: $\sum\limits_{i=1}^{n_1 +n_2 } {f(P_i )\cdot s(D_i )} =\sum\limits_{i_1 =1}^{n_1 } {f(P_{i_1 } )\cdot s(D_{i_1 } )} +\sum\limits_{i_2 =1}^{n_2 } {f(P_{i_2 } )\cdot s(D_{i_2 } )} $. Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при $d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n;\;j=1,2} diam(D_{i_j } )\to 0$, получим требуемое равенство.

Интеграл от единичной функции по области

$\mathbf{\textit{D}}$ равен площади этой области: $\iint\limits_D {ds}=s(D)\textbf{. }$

Док-во:

Для любого разбиения $\sum\limits_{i=1}^n {s(D_i )} =s(D)$, т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек $\mathbf{\textit{P}}_{i}$. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому $\iint\limits_D {ds}=\mathop {\lim }\limits_{d\to 0} \sum\limits_{i=1}^n {s(D_i )} =s(D)$.

Интегрирование неравенств

Если в любой точке $P\in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf{\textit{f(P}})$, $\mathbf{\textit{g}}(\mathbf{\textit{P}})$ интегрируемы по области $\mathbf{\textit{D}}$, то $\iint\limits_D {f(P)ds}\leqslant \iint\limits_D {g(P)ds}$.

Док-во:

В любой точке $P_i \in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, поэтому $\sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )s(D_i )} \leqslant \sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )s(D_i )} $. По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.

Теоремы об оценке интеграла

Если функция $\mathbf{\textit{f(P}})$ интегрируема по области $\mathbf{\textit{D}}$ и для $\forall P\in D$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D {f(P)ds}\leqslant M\cdot s(D)$.

Док-во:

$m\leqslant f(P)\leqslant M \quad \mathop \Rightarrow \limits^{ссылки-еще-нет} \quad \sum\limits_{i=1}^n {m\cdot s(D_i )} \leqslant \sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )s(D_i )} \leqslant \sum\limits_{i=1}^n {M\cdot s(D_i )} \mathop \Rightarrow \limits^{ссылки-еще-нет} \\ \quad \mathop \Rightarrow \limits^{ссылки-еще-нет} m\sum\limits_{i=1}^n {s(D_i )} \leqslant \sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )s(D_i )} \leqslant M\sum\limits_{i=1}^n {s(D_i )} \mathop \Rightarrow \limits^{ссылки-еще-нет} m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D {f(P)ds}\leqslant M\cdot s(D)$

Цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств.

Если функция $\mathbf{\textit{f(P}})$ интегрируема по области $\mathbf{\textit{D}}$, то $\left| {\iint\limits_D {f(P)ds}} \right|\leqslant \iint\limits_D {\vert f(P)\vert ds}$.

Док-во:

Эти неравенства непосредственно следуют из того, что $-\vert f(P)\vert \leqslant f(P)\leqslant \vert f(P)\vert $ и свойства Интегрирование неравенств

Теорема о среднем

Если функция $\mathbf{\textit{f(P}})$ непрерывна на области $\mathbf{\textit{D}}$, то существует точка $P_0 \in D$, такая что $\iint\limits_D {f(P)ds}=f(P_0 )\cdot s(D)$.

Док-во:

Непрерывная на ограниченной замкнутой области $\mathbf{\textit{D}}$ функция $\mathbf{\textit{f(P}})$ принимает в некоторых точках этой области своё минимальное $\mathbf{\textit{m}}$ и максимальное $\mathbf{\textit{M}}$ значения. Так как $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D {f(P)ds}\leqslant M\cdot s(D)$, или $m\leqslant \frac{1}{s(D)}\iint\limits_D {f(P)ds}\leqslant M$. Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между $\mathbf{\textit{m}}$ и $\mathbf{\textit{M}}$, в частности, значение

$\frac{1}{s(D)}\iint\limits_D {f(P)ds}\leqslant M$. Следовательно, $\exists P_0 \in D\vert \;f(P_0 )=\frac{1}{s(D)}\iint\limits_D {f(P)ds}$, откуда и следует доказываемое утверждение.