Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла

Определение двойного интеграла

Пусть на плоскости $\mathbf{\textit{Oxy}}$ задана ограниченная замкнутая область $\mathbf{\textit{D}}$ с кусочно-гладкой границей, и пусть на области $\mathbf{\textit{D}}$ определена функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$.

Разобьём область $\mathbf{\textit{D}}$ произвольным образом на $\mathbf{\textit{n}}$ подобластей $\mathbf{\textit{D}}_{1}$, $\mathbf{\textit{D}}_{2}$,$\mathbf{\textit{ D}}_{3}, {\ldots}, \mathbf{\textit{D}}_{n}$, {не имеющих общих внутренних точек}. Символом $\mathbf{\textit{s}}(\mathbf{\textit{D}}_{i})$ будем обозначать площадь области $\mathbf{\textit{D}}_{i}$; символом $diam(\mathbf{\textit{D}})$ здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области $\mathbf{\textit{D}}$: $$ diam(D)=\mathop {\max }\limits_{P_1 ,P_2 \in D} \rho (P_1 ,P_2 ); $$ символом $d$ обозначим наибольший из диаметров областей $\mathbf{\textit{D}}_{i}$:

$d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(D_i )$.

opredelenie-dvoinogo-integrala-0 В каждой из подобластей $\mathbf{\textit{D}}_{i} (\mathbf{\textit{i}} = 1,2, {\ldots}, \mathbf{\textit{n}})$ выберем произвольную точку $\mathbf{\textit{P}}_{i} = (\mathbf{\textit{x}}_{i}$, $\mathbf{\textit{y}}_{i})$, вычислим в этой точке значение функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}}_{i} ) = \mathbf{\textit{f}} (\mathbf{\textit{x}}_{i}, \mathbf{\textit{y}}_{i})$, и составим интегральную сумму $\sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )\cdot s(D_i )} $.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при

$d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(D_i )\to 0$, не зависящий ни от способа разбиения области $\mathbf{\textit{D}}$ на подобласти $\mathbf{\textit{D}}_{i}$, ни от выбора точек $\mathbf{\textit{P}}_{i}$, то функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$ называется интегрируемой по области $\mathbf{\textit{D}}$, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$ по области $\mathbf{\textit{D}}$ и обозначается $\iint\limits_D {f(P)ds}$.

Если расписать значение $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}})$ через координаты точки $\mathbf{\textit{P}}$, и представить $\mathbf{\textit{ds}}$ как $\mathbf{\textit{ds }}=\mathbf{\textit{dx dy}}$, получим другое обозначение двойного интеграла: $\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}$. Итак, кратко,

$\iint\limits_D {f(x,y)dxdy}=\iint\limits_D {f(P)ds}=\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{l} d\to 0 \ (n\to \infty ) \ \end{array}} \sum\limits_{i=1}^n {f(x_i ,y_i )\cdot s(D_i )} $.

Теорема существования двойного интеграла

Если подынтегральная функция $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}, \mathbf{\textit{y}})$ непрерывна на области $\mathbf{\textit{D}}$, то она интегрируема по этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы

С геометрической точки зрения {при $f(x, y)\geq 0$ } интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями $s(D_{i})$ и высотами $f(P_i )$.

Если $f(x,y)\geqslant 0$, то $f(P_i )\cdot s(D_i )$ - объём прямого цилиндра с основанием $\mathbf{\textit{D}}_{i}$ высоты $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}}_{i})$; вся интегральная сумма $\sum\limits_{i=1}^n {f(P_i )\cdot s(D_i )} $ - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела - высота ступеньки, расположенной над подобластью $\mathbf{\textit{D}}_{i}$, равна $\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{P}}_{i})$. Когда $d=\mathop {\max }\limits_{i=1,2,\ldots ,n} diam(D_i )\to 0$, это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью $\mathbf{\textit{D}}$, сверху - поверхностью $\mathbf{\textit{z}}=\mathbf{\textit{f}}(\mathbf{\textit{x}}$, $\mathbf{\textit{y}})$, с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области $\mathbf{\textit{D}}$, а образующие параллельны оси $\mathbf{\textit{Oz}}$. Двойной интеграл $\iint\limits_D {f(P)ds}$ равен объёму этого тела.