Теорема о предполных классах

Определение: Замкнутый класс функций $K$ из $P_2$ предполон, если класс $K$ не является полным, но для любой функции $f$ не из $K$ система $k\vee {f}$ полна.

Теорема: Следующие замкнутые классы функций предполны:

  1. Класс $T_0$, не сохраняющий константу $0$.
  2. Класс $T_1$, не сохраняющий константу $1$.
  3. Класс $M$ монотонных функций.
  4. Класс $L$ линейных функций.
  5. Класс $S$ самодвойственных функций.

Теорема {перефразировка теоремы Поста в терминах предполных классов}: Система функций $F$ полна $\Longleftrightarrow$ когда $F$ не содержится целиком ни в одном из пяти предполных классов $T_0, T_1, M, L, S$.

Замечание: Пост описал все замкнутые классы алгебры логики и все их базисы, которые оказались конечными. Число замкнутых классов счетно и множество замкнутых классов образует решетку относительно включения множеств. Эта решетка имеет наибольший класс $P_2$ {он же максимум} и три минимальных элемента $0_1 = [{x}], 0_2 = [{1}], 0_3 = [{ 1 }]$. Наименьшего элемента решетка не имеет.