Логические следствия

Формула $B$ называется логическим следствием формул $A_1, A_2, …, A_n$, если при любых значениях, входящих в них, элементарных высказываний формула $B$ принимает значение истинно всякий раз, когда формулы $A_1, A_2, …, A_n$ принимают значение истинно. Обозначается $A_1, A_2, …, A_n\models B$

Из определения логического следования вытекает:

  1. Тавтология логически следует из любой формулы.
  2. Из противоречия логически следует любая формула.

Из $A$ логически следует $B$ тогда и только тогда, когда тавтологией является $A \rightarrow B$

$A_1, A_2,…, A_n\models B$ тогда и только тогда, когда является тавтологией $A_1\wedge A_2\wedge $ $…\wedge A_n \rightarrow B$

Из формул $A_1, A_2,…, A_n , B$ логически следует $C$ тогда и только тогда, когда из формул $A_1, A_2, …, A_n$ логически следует $B \rightarrow C$

Из $A$ и $B$ логически следует $C$ тогда и только тогда, когда тавтологией является $A\rightarrow (B\rightarrow C)$

Из формул $A_1, A_2, …, A_n$ логически следует $B$ тогда и только тогда, когда тавтологией является $A_1\rightarrow (A_2\rightarrow $ $… (A_n\rightarrow B)…)$

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

Если из $A\models B$, то $A$ называется достаточным условием для $B$, а $B$ – необходимым условием для $A$.

Если вместе с $A\models B$ из $B\models A$, то $A$ называется необходимым и достаточным условием для $B$, а $B$ – необходимым и достаточным условием для $A$.